Algoritmo de la división y divisibilidad: divisor, factor y múltiplo

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Térraba (Sétimo año) Lección 2 de 11

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 9 min de lectura

Cuando se reparten 158 confites entre 12 personas, el reparto no sale exacto: a cada quien le toca una cantidad y sobra un poco. El algoritmo de la división describe con precisión esa situación y sirve para resolver problemas de reparto, de agrupación y hasta de calendario.

En esta lección también vas a repasar, con más profundidad que en la escuela, los conceptos de divisibilidad, divisor, factor y múltiplo, que son la base de los números primos, del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor.

Definición

El algoritmo de la división establece que, al dividir un número natural D (el dividendo) entre un número natural d distinto de cero (el divisor), existen un único cociente c y un único residuo r, ambos naturales, tales que D = d · c + r, donde el residuo r es mayor o igual que 0 y siempre menor que el divisor d.

Las partes de una división y la igualdad D = d · c + r#

En toda división hay cuatro números: el dividendo (lo que se reparte), el divisor (entre cuántos se reparte), el cociente (cuánto le toca a cada parte) y el residuo (lo que sobra). El algoritmo de la división los une en una sola igualdad:

Fórmula

D = d · c + r, con r mayor o igual que 0 y menor que d

Donde D es el dividendo, d el divisor (distinto de 0), c el cociente y r el residuo.

Ejemplo. Divide 158 entre 12 y escribe el resultado con el algoritmo de la división.

Solución. Se busca cuántas veces cabe 12 en 158: 12 · 13 = 156 y 12 · 14 = 168, que ya se pasa. Entonces el cociente es 13 y sobran 158 − 156 = 2. Se escribe 158 = 12 · 13 + 2, y se cumple que el residuo 2 es menor que el divisor 12.

¿Por qué el residuo tiene que ser menor que el divisor?#

Si sobrara una cantidad igual o mayor que el divisor, todavía se podría dar uno más a cada parte. Por ejemplo, 158 = 12 · 12 + 14 es una igualdad verdadera, pero la división no está terminada: con los 14 que sobran se da uno más a cada una de las 12 partes, y queda 158 = 12 · 13 + 2.

Cómo comprobar una división#

La igualdad también sirve para revisar: se multiplica el divisor por el cociente, se suma el residuo y se verifica que da el dividendo. Si 437 ÷ 15 da cociente 29 y residuo 2, se comprueba así: 15 · 29 = 435 y 435 + 2 = 437. La división está bien hecha.

Problemas que se resuelven con el algoritmo de la división#

Al resolver un problema con una división inexacta, lo importante es preguntarse qué significan el cociente y el residuo en la situación. Hay tres casos frecuentes:

El residuo obliga a agregar uno al cociente, porque lo que sobra también necesita su lugar.
El residuo es lo que sobra y no se usa.
El residuo es la respuesta, como en los ciclos que se repiten.

Ejemplo. Un colegio lleva a 307 estudiantes de gira y cada buseta tiene espacio para 18 estudiantes. ¿Cuántas busetas necesita?

Solución. Se divide 307 entre 18: como 18 · 17 = 306, se tiene 307 = 18 · 17 + 1. Con 17 busetas viajan 306 estudiantes, pero queda 1 sin lugar. Por eso se necesitan 17 + 1 = 18 busetas: aquí el residuo obliga a agregar una más.

Ejemplo. Una granja empaca 1000 huevos en cartones de 30. ¿Cuántos cartones llena y cuántos huevos le sobran?

Solución. Se divide 1000 entre 30: 30 · 33 = 990 y 30 · 34 = 1020, que se pasa. Entonces 1000 = 30 · 33 + 10. Se llenan 33 cartones y sobran 10 huevos, que no completan otro cartón.

Ejemplo. Si hoy es lunes, ¿qué día de la semana será dentro de 100 días?

Solución. Cada 7 días se repite el mismo día de la semana. Como 100 = 7 · 14 + 2, dentro de 98 días (14 semanas completas) volverá a ser lunes, y faltarán 2 días más. Dos días después del lunes es miércoles. Aquí la respuesta la da el residuo.

Divisibilidad: cuando la división es exacta#

Cuando el residuo es 0, la división es exacta, y se dice que el dividendo es divisible entre el divisor. Por ejemplo, 42 ÷ 6 = 7 con residuo 0, porque 42 = 6 · 7. Esa igualdad se puede leer de cuatro formas que dicen lo mismo:

Forma general	Con 42 = 6 · 7
a es divisible entre b	42 es divisible entre 6
b es divisor de a (b divide a a)	6 es divisor de 42
b es factor de a	6 es factor de 42
a es múltiplo de b	42 es múltiplo de 6

Lo mismo vale para el 7: también es divisor y factor de 42, y 42 es múltiplo de 7. La palabra factor recuerda que el número aparece en una multiplicación cuyo resultado es el otro número.

Ejemplo. ¿Es 91 divisible entre 7? ¿Y entre 3?

Solución. Al dividir 91 entre 7 se obtiene 13 exacto, porque 7 · 13 = 91: el residuo es 0 y 91 sí es divisible entre 7. Al dividir 91 entre 3 se obtiene 91 = 3 · 30 + 1: el residuo es 1, así que 91 no es divisible entre 3.

Divisores y múltiplos de un número#

Para encontrar todos los divisores de un número conviene buscarlos en parejas cuyo producto sea ese número. Para el 36: 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9 y 6 · 6. Así, los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, nueve en total. La lista de divisores de un número distinto de cero siempre termina: empieza en 1 y acaba en el propio número.

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicarlo por 0, 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 7 son 0, 7, 14, 21, 28, 35… y la lista nunca termina, porque siempre se puede multiplicar por un número más grande.

Criterios de divisibilidad#

Para saber si un número es divisible entre otro sin hacer la división se usan los criterios de divisibilidad. Estos son los más usados:

Divisible entre	Criterio	Ejemplo
2	Termina en 0, 2, 4, 6 u 8 (es par).	3574
3	La suma de sus cifras es múltiplo de 3.	4125: 4 + 1 + 2 + 5 = 12
4	Sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4, o son 00.	7316: 16 = 4 · 4
5	Termina en 0 o en 5.	2385
6	Es divisible entre 2 y entre 3.	552: es par y 5 + 5 + 2 = 12
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	8172: 8 + 1 + 7 + 2 = 18
10	Termina en 0.	4090

Ejemplo. ¿Entre cuáles de los números 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10 es divisible 210?

Solución. 210 termina en 0, así que es divisible entre 2, entre 5 y entre 10. Sus cifras suman 2 + 1 + 0 = 3, que es múltiplo de 3: es divisible entre 3 y, como también lo es entre 2, entre 6. No es divisible entre 4, porque 10 no es múltiplo de 4, ni entre 9, porque 3 no es múltiplo de 9. Respuesta: entre 2, 3, 5, 6 y 10.

Ejemplo. ¿Qué cifra puede ir en el espacio de 5_8 para que el número de tres cifras sea divisible entre 3?

Solución. Si la cifra que falta es x, la suma de las cifras es 5 + x + 8 = 13 + x, y tiene que ser múltiplo de 3. Entre 0 y 9, eso pasa con x = 2 (suma 15), x = 5 (suma 18) y x = 8 (suma 21). Los números son 528, 558 y 588.

Todo número natural es par o impar#

El algoritmo de la división también sirve para razonar. Al dividir cualquier número natural n entre 2, el residuo tiene que ser menor que 2, así que solo puede ser 0 o 1:

Si el residuo es 0, entonces n = 2 · c y el número es par.
Si el residuo es 1, entonces n = 2 · c + 1 y el número es impar.

No hay una tercera posibilidad, de modo que todo número natural es par o impar, y ninguno es las dos cosas a la vez. Por ejemplo, 37 = 2 · 18 + 1 es impar y 56 = 2 · 28 es par. Con la misma idea se explica por qué la suma de dos números impares es par: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2 · (a + b + 1), que es un múltiplo de 2.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el cociente y cuál es el residuo de dividir 250 entre 9, y cómo compruebas el resultado?#

Se busca cuántas veces cabe 9 en 250: 9 · 27 = 243 y 9 · 28 = 252, que se pasa. El cociente es 27 y el residuo es 250 − 243 = 7, que es menor que 9. Se escribe 250 = 9 · 27 + 7. Para comprobarlo se multiplica el divisor por el cociente y se suma el residuo: 243 + 7 = 250, que es el dividendo.

¿Puede ser 15 el residuo de una división entre 12?#

No. El algoritmo de la división exige que el residuo sea menor que el divisor, y 15 es mayor que 12. Si sobraran 15, todavía alcanzaría para dar uno más a cada una de las 12 partes, y sobrarían 15 − 12 = 3. El cociente aumentaría en 1 y el residuo verdadero sería 3.

¿Es 3105 divisible entre 9, entre 5 y entre 2?#

Sus cifras suman 3 + 1 + 0 + 5 = 9, que es múltiplo de 9, así que sí es divisible entre 9 (3105 = 9 · 345). Termina en 5, de modo que también es divisible entre 5. No es divisible entre 2, porque termina en una cifra impar: al dividirlo entre 2 queda residuo 1.

¿De qué tamaños pueden ser los equipos si un grupo de 32 estudiantes se divide en equipos iguales, sin que sobre nadie, con más de 1 y menos de 32 integrantes cada uno?#

El tamaño de cada equipo tiene que ser un divisor de 32. Como 32 = 1 · 32 = 2 · 16 = 4 · 8, sus divisores son 1, 2, 4, 8, 16 y 32. Al descartar el 1 y el 32, los equipos pueden ser de 2, 4, 8 o 16 estudiantes; en cada caso se forman 16, 8, 4 o 2 equipos, respectivamente.

¿Qué día de la semana será dentro de 45 días, si hoy es sábado?#

Los días de la semana se repiten cada 7 días. Al dividir 45 entre 7 se obtiene 45 = 7 · 6 + 3. Después de 6 semanas completas, es decir, 42 días, vuelve a ser sábado, y faltan 3 días más: domingo, lunes y martes. Dentro de 45 días será martes.