Potencias y operaciones combinadas con números naturales

En sétimo año se retoman los números naturales para operar con ellos con más seguridad. En los programas del MEP, los números naturales incluyen el cero: 0, 1, 2, 3, 4… En esta lección vas a repasar las potencias, que abrevian una multiplicación de factores iguales, y a resolver operaciones combinadas, es decir, expresiones en las que se mezclan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potencias, con paréntesis o sin ellos.

Saber en qué orden se hace cada operación no es un capricho: si dos personas resuelven la misma expresión en distinto orden, pueden obtener resultados distintos. Además, desde este año el programa indica un cambio de símbolo: la multiplicación ya no se escribe con la cruz (×), sino con un punto (·). Así, 4 · 5 se lee «cuatro por cinco».

La notación exponencial: cómo se escribe y cómo se lee una potencia#

Escribir 3 · 3 · 3 · 3 es largo; con notación exponencial basta con 3⁴. La base se escribe en tamaño normal y el exponente, más pequeño, arriba a la derecha. Para calcular el valor de una potencia se multiplica la base por sí misma tantas veces como indica el exponente.

Las potencias se leen así:

• Exponente 2, «al cuadrado»: 7² se lee «siete al cuadrado».
• Exponente 3, «al cubo»: 5³ se lee «cinco al cubo».
• Exponente 4 o mayor, «a la cuarta», «a la quinta»…: 2⁶ se lee «dos a la sexta» o «dos elevado a la seis».

Potencia	Desarrollo	Valor
34	3 · 3 · 3 · 3	81
72	7 · 7	49
53	5 · 5 · 5	125
26	2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2	64
112	11 · 11	121

Un error frecuente#

El exponente no multiplica a la base. 2⁵ no es 2 · 5 = 10, sino 32. Del mismo modo, 3² = 9 y no 6. Ante la duda, escribe el desarrollo antes de calcular. Recuerda también dos casos: cualquier número elevado a la 1 es el mismo número (8¹ = 8), y 1 elevado a cualquier exponente da 1 (1⁸ = 1).

Ejemplo. Escribe en notación exponencial el producto 5 · 5 · 5 · 5 · 2 · 2 y calcula su valor.

Solución. El 5 se repite cuatro veces y el 2, dos veces, así que el producto es 5⁴ · 2². Como 5⁴ = 625 y 2² = 4, el valor es 625 · 4 = 2500.

Potencias de base 10, cuadrados perfectos y cubos perfectos#

Las potencias de base 10 son muy útiles para escribir números grandes. Cada vez que se multiplica por 10 se agrega un cero, de modo que el exponente coincide con la cantidad de ceros que siguen al 1:

Potencia	Valor
101	10
102	100
103	1000
104	10 000
105	100 000
106	1 000 000

Así, un número terminado en ceros se puede escribir como un producto con una potencia de 10: 3000 = 3 · 10³ y 250 000 = 25 · 10⁴.

Ejemplo. Escribe 7 000 000 como un número multiplicado por una potencia de 10.

Solución. Después del 7 hay seis ceros, así que 7 000 000 = 7 · 10⁶. Se comprueba: 10⁶ = 1 000 000 y 7 · 1 000 000 = 7 000 000.

Cuadrados y cubos perfectos#

Un cuadrado perfecto es un número natural que se obtiene al elevar otro número natural al cuadrado, y un cubo perfecto, el que se obtiene al elevarlo al cubo. Sin contar el 0, los diez primeros cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100, y los diez primeros cubos perfectos son 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 y 1000. El 64 está en las dos listas, porque 64 = 8² = 4³.

Ejemplo. ¿Es 196 un cuadrado perfecto? ¿Y 200?

Solución. Se busca un número natural que, multiplicado por sí mismo, dé el número. Como 14 · 14 = 196, se cumple que 196 = 14², así que sí es un cuadrado perfecto. En cambio, 14² = 196 y 15² = 225, de modo que 200 queda entre dos cuadrados seguidos y no es un cuadrado perfecto.

La potencia no se reparte en sumas ni en restas#

¿Se puede «repartir» el exponente entre los números de un paréntesis? Depende de la operación que haya adentro. Para averiguarlo, se calcula cada lado por separado:

Afirmación	Lado izquierdo	Lado derecho	¿Es verdadera?
(4 + 6)2 = 42 + 62	102 = 100	16 + 36 = 52	No
(9 − 4)2 = 92 − 42	52 = 25	81 − 16 = 65	No
(2 · 5)3 = 23 · 53	103 = 1000	8 · 125 = 1000	Sí
(12 ÷ 4)2 = 122 ÷ 42	32 = 9	144 ÷ 16 = 9	Sí

La potencia se reparte en una multiplicación y en una división exacta, pero no en una suma ni en una resta. Si dentro del paréntesis hay una suma o una resta, primero se resuelve el paréntesis y después se eleva el resultado.

El orden de las operaciones combinadas#

Una combinación de operaciones es una expresión con varias operaciones seguidas. Para que todas las personas obtengan el mismo resultado, se respeta siempre esta jerarquía, que también se llama prioridad de las operaciones:

1. Primero se resuelven los paréntesis. Dentro de cada paréntesis se sigue el mismo orden.
2. Luego se calculan las potencias.
3. Después se hacen las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen.
4. Por último se hacen las sumas y restas, también de izquierda a derecha.

Un error común es operar de izquierda a derecha sin fijarse en la jerarquía, por ejemplo, hacer primero una suma solo porque aparece de primera.

Ejemplo. Calcula 18 − 12 ÷ 4 + 2 · 5.

Solución. No hay paréntesis ni potencias. Primero se hacen la división y la multiplicación: 12 ÷ 4 = 3 y 2 · 5 = 10. Queda 18 − 3 + 10. Ahora se resta y se suma de izquierda a derecha: 18 − 3 = 15 y 15 + 10 = 25. El resultado es 25.

Ejemplo. Calcula 48 ÷ 6 · 2.

Solución. La división y la multiplicación tienen el mismo rango, así que se hacen de izquierda a derecha: 48 ÷ 6 = 8 y 8 · 2 = 16. Si se multiplicara primero (6 · 2 = 12), se obtendría 48 ÷ 12 = 4, que es incorrecto.

Ejemplo. Calcula 3 · 2³ − 4² ÷ 8.

Solución. Primero las potencias: 2³ = 8 y 4² = 16. Queda 3 · 8 − 16 ÷ 8. Luego la multiplicación y la división: 3 · 8 = 24 y 16 ÷ 8 = 2. Por último, 24 − 2 = 22.

Operaciones combinadas con paréntesis#

Los paréntesis cambian el orden: lo que está dentro de ellos se resuelve antes que todo lo demás. Además, cuando un número aparece pegado a un paréntesis, sin ningún signo en medio, significa que lo multiplica: 3(4 + 1) es lo mismo que 3 · (4 + 1) = 3 · 5 = 15.

Ejemplo. Calcula 30 − (4 + 2 · 3).

Solución. Dentro del paréntesis, primero la multiplicación, 2 · 3 = 6, y luego la suma, 4 + 6 = 10. Queda 30 − 10 = 20. Sin el paréntesis, la expresión 30 − 4 + 2 · 3 daría 30 − 4 + 6 = 32: los paréntesis sí cambian el resultado.

Ejemplo. Calcula 2³ · (15 − 3 · 4) + 36 ÷ (9 − 3).

Solución. Primero los paréntesis. En el primero, 3 · 4 = 12 y 15 − 12 = 3; en el segundo, 9 − 3 = 6. La expresión queda 2³ · 3 + 36 ÷ 6. Ahora la potencia: 2³ = 8, y queda 8 · 3 + 36 ÷ 6. Después la multiplicación y la división: 24 + 6. El resultado es 30.

Ejemplo. Calcula 5(2⁴ − 7) − 4(6 − 5) + 3²(8 ÷ 4 + 1).

Solución. Se resuelve cada paréntesis: 2⁴ − 7 = 16 − 7 = 9; 6 − 5 = 1; 8 ÷ 4 + 1 = 2 + 1 = 3. Queda 5 · 9 − 4 · 1 + 3² · 3. Luego la potencia, 3² = 9, y las multiplicaciones: 45 − 4 + 27. Por último, de izquierda a derecha: 45 − 4 = 41 y 41 + 27 = 68.

Un problema de la vida diaria: las compras en la feria#

Las operaciones combinadas aparecen cada vez que se calcula el total de una compra. Los precios de este problema son inventados para practicar.

Ejemplo. Sofía va a la feria del agricultor con ₡10 000. Compra 3 kilos de tomate a ₡850 el kilo, 2 piñas a ₡1200 cada una y 6 chiles dulces, que se venden a 3 por ₡500. ¿Cuánto paga en total y cuánto le dan de vuelto?

Solución. El total se plantea como 3 · 850 + 2 · 1200 + 6 ÷ 3 · 500. Primero las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha: 3 · 850 = 2550; 2 · 1200 = 2400; 6 ÷ 3 = 2 y 2 · 500 = 1000. Luego se suma: 2550 + 2400 + 1000 = 5950. Sofía paga ₡5950. El vuelto es 10 000 − (3 · 850 + 2 · 1200 + 6 ÷ 3 · 500) = 10 000 − 5950 = ₡4050.

Quien operara de izquierda a derecha sin respetar la jerarquía (3 · 850 = 2550, luego 2550 + 2 = 2552…) llegaría a un número sin sentido. El propio problema indica que primero se calcula lo que cuesta cada producto y después se suman los montos.

Ponte a prueba#

¿Cuánto vale 4³ y por qué no es 12?#

¿Cuál es el resultado de 40 − 24 ÷ 4 · 2 + 3²?#

¿Es cierto que (3 + 5)² = 3² + 5²?#

¿Cuánto da 6 · (2³ − 5) − 18 ÷ (4 + 2)?#

¿Cuántos libros le tocan a cada aula si una biblioteca reparte en partes iguales entre 4 aulas el contenido de 4 cajas de 25 libros y 3 cajas de 16 libros?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)