Proporcionalidad directa e inversa: tablas, gráficas y fórmulas

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Térraba (Sétimo año) Lección 18 de 23

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Si 7 cuadernos iguales cuestan cierto monto, es natural pensar que 14 costarán el doble. Y si una cuadrilla de personas termina un trabajo en 12 días, parece lógico que con el doble de personas lo terminen en la mitad del tiempo. En ambos casos dos cantidades están ligadas, pero la ligazón es distinta: en el primero las dos crecen juntas y en el segundo una sube cuando la otra baja.

Estas dos relaciones se llaman proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa. En la lección verás cómo reconocerlas, cómo comprobar con una tabla que de verdad lo son y cómo representarlas en forma verbal, tabular, gráfica y algebraica.

Definición

Dos variables x e y son directamente proporcionales cuando su cociente es constante: y ÷ x = k, es decir, y = k · x. Son inversamente proporcionales cuando su producto es constante: x · y = k, es decir, y = k ÷ x. En ambos casos el número k, distinto de cero, es la constante de proporcionalidad. El glosario del programa del MEP lo expresa así: en la directa la razón entre las variables es constante y en la inversa lo es su producto.

Proporcionalidad directa: el cociente no cambia#

En una relación directa, si una cantidad se duplica, la otra se duplica; si se triplica, la otra se triplica; y al reducirse una a la mitad, también lo hace la otra. Dividir los valores de y entre los de x siempre da el mismo resultado, la constante k.

Ejemplo. Siete cuadernos iguales cuestan ₡9 450 (precio inventado para el ejercicio). ¿Cuánto cuestan 12 cuadernos? Escribe la fórmula y completa una tabla.

Solución. El precio de un cuaderno es 9 450 ÷ 7 = ₡1 350; esa es la constante k. La fórmula es y = 1 350 · x, donde x es el número de cuadernos y y el costo total. Para x = 12: 1 350 · 12 = ₡16 200. En la tabla, cada precio se obtiene multiplicando por 1 350 y, de abajo hacia arriba, dividiendo entre 1 350 se regresa al número de cuadernos.

Cuadernos (x)	1	2	5	7	12
Costo en colones (y)	1 350	2 700	6 750	9 450	16 200
y ÷ x	1 350	1 350	1 350	1 350	1 350

La gráfica de una relación directa es un conjunto de puntos (x, y) alineados sobre una recta que pasa por el origen: (0, 0), (1, 1 350), (2, 2 700)… Si no pasa por el origen, o los puntos no están alineados, la relación no es directamente proporcional.

Cuando hay un valor «inicial» distinto de cero, la relación puede crecer a pasos iguales y aun así no ser proporcional. Por ejemplo, un servicio que cobra ₡2 000 fijos más ₡500 por hora da, para 1, 2 y 3 horas, los costos 2 500, 3 000 y 3 500. Los cocientes 2 500 ÷ 1, 3 000 ÷ 2 y 3 500 ÷ 3 no son iguales, por eso no es proporcionalidad directa.

Proporcionalidad inversa: el producto no cambia#

En una relación inversa, si una cantidad se duplica la otra se reduce a la mitad; si se triplica, la otra se reduce a la tercera parte. Lo que no cambia es el producto de las dos, que representa «la cantidad total» del trabajo, del recorrido o del recurso que se reparte.

Ejemplo. Ocho personas pintan un salón y terminan en 9 horas, trabajando todas al mismo ritmo. ¿Cuánto tardarían 6 personas? ¿Y 12 personas?

Solución. El producto 8 · 9 = 72 «personas por hora» es la cantidad de trabajo del salón y funciona como constante: x · y = 72, o sea y = 72 ÷ x. Con 6 personas: 72 ÷ 6 = 12 horas. Con 12 personas: 72 ÷ 12 = 6 horas. Observa que menos personas implican más tiempo y más personas implican menos tiempo.

Personas (x)	2	4	6	8	12	18
Horas (y)	36	18	12	9	6	4
x · y	72	72	72	72	72	72

La gráfica de una relación inversa no es una recta: los puntos (2, 36), (4, 18), (6, 12), (8, 9), (12, 6) y (18, 4) bajan rápido al principio y cada vez más despacio, y nunca llegan a tocar los ejes. A este nivel se grafican como puntos, porque x e y solo toman valores en un conjunto de números como las personas o las horas enteras; un programa de computadora la dibujaría como una línea curva continua.

Cómo saber cuál es: la prueba de la tabla#

No basta con pensar «una sube y la otra baja» o «las dos suben» para decidir. La prueba confiable es calcular, para cada pareja de la tabla, el cociente y el producto:

Si…	Entonces la relación es…	Fórmula	Gráfica
y ÷ x es siempre igual	directa	y = k · x	puntos en una recta desde el origen
x · y es siempre igual	inversa	y = k ÷ x	puntos sobre una curva que desciende
ninguna de las dos es constante	ni directa ni inversa	—	otro tipo de gráfica

Ejemplo. Decide si cada tabla corresponde a proporcionalidad directa, inversa o ninguna. A: x = 2, 5, 8 y y = 7, 17,5, 28. B: x = 3, 4, 6 y y = 20, 15, 10. C: x = 1, 2, 3 y y = 5, 7, 9.

Solución. A: los cocientes son 7 ÷ 2 = 3,5; 17,5 ÷ 5 = 3,5 y 28 ÷ 8 = 3,5; son iguales, así que es directa con k = 3,5. B: los productos son 3 · 20 = 60, 4 · 15 = 60 y 6 · 10 = 60; son iguales, así que es inversa con k = 60. C: los cocientes son 5, 3,5 y 3, y los productos 5, 14 y 27; ninguno es constante, así que no es proporcional. Aunque C crece de forma regular (suma 2 cada vez), le falta pasar por el origen.

Hay situaciones en que las cantidades están relacionadas y no son proporcionales: la edad y la estatura de una persona crecen juntas, pero no en razón constante. También conviene revisar las condiciones del problema: «más personas, menos tiempo» solo vale si todas rinden igual y el trabajo es el mismo.

Las cuatro representaciones de una misma relación#

Una relación proporcional se puede contar de cuatro maneras que dicen lo mismo. Veamos una inversa con la que ya has viajado mucho: el tiempo que tarda un bus en recorrer una ruta de 90 kilómetros, si mantiene una velocidad constante.

Verbal: «el tiempo en horas es inversamente proporcional a la velocidad en km/h; al duplicar la velocidad, el tiempo se reduce a la mitad».
Tabular: con velocidades de 30, 45, 60 y 90 km/h, los tiempos son 3, 2, 1,5 y 1 horas.
Algebraica: t = 90 ÷ v, con constante k = 90 (los kilómetros de la ruta).
Gráfica: los puntos (30, 3), (45, 2), (60, 1,5) y (90, 1) forman una curva descendente.

Ejemplo. Se sabe que y es inversamente proporcional a x y que cuando x = 5, y = 14. Completa la tabla para x = 2, 7 y 10, y calcula x cuando y = 4.

Solución. La constante es 5 · 14 = 70, así que y = 70 ÷ x. Para x = 2: y = 35. Para x = 7: y = 10. Para x = 10: y = 7. Si y = 4, entonces 4 = 70 ÷ x y x = 70 ÷ 4 = 17,5. La tabla permite extraer conclusiones sobre valores que no aparecían al principio, justo para eso sirve tener la fórmula.

Existen también relaciones proporcionales con potencias. Por ejemplo, el área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de su lado: A = 1 · lado². Si el lado pasa de 3 cm a 6 cm, el área no se duplica, sino que se multiplica por 4 (de 9 cm² a 36 cm²).

Problemas con sentido#

Antes de aplicar una fórmula conviene preguntarse: ¿las dos cantidades crecen juntas o una compensa a la otra? ¿Qué se mantiene fijo en el problema? Si lo fijo es un cociente (el precio de una unidad, el rendimiento por hora), es directa; si es un producto (la tarea completa, la distancia total, la cantidad a repartir), es inversa.

Ejemplo. En una receta, 3 tazas de arroz alcanzan para 4 personas. Si un día cocinan para 10 personas manteniendo la misma proporción, ¿cuántas tazas de arroz necesitan?

Solución. Las tazas de arroz son directamente proporcionales al número de personas, porque lo que se mantiene fijo es la ración de cada una. Para 4 personas se usan 3 tazas, es decir, 3 ÷ 4 = 0,75 taza por persona. Para 10 personas: 0,75 · 10 = 7,5 tazas de arroz.

Ejemplo. Seis obreros construyen un muro en 15 días trabajando al mismo ritmo. Si se contratan 9 obreros en total, ¿en cuántos días lo terminarán? ¿Cuántos obreros se necesitarían para terminarlo en 5 días?

Solución. El trabajo equivale a 6 · 15 = 90 «obreros por día». Con 9 obreros: 90 ÷ 9 = 10 días. Para terminar en 5 días: 90 ÷ 5 = 18 obreros. La relación es inversa porque se mantiene fijo el trabajo completo. Es un modelo simplificado: en la realidad, demasiados obreros en un espacio pequeño se estorban y el trabajo no se acelera igual.

Ejemplo. Cuatro llaves iguales llenan un tanque en 45 minutos. ¿Cuánto tardan 6 llaves iguales? Si se quiere llenarlo en 20 minutos, ¿cuántas llaves se necesitan?

Solución. El producto 4 · 45 = 180 «llaves por minuto» es constante. Con 6 llaves: 180 ÷ 6 = 30 minutos. Para 20 minutos: 180 ÷ 20 = 9 llaves.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la constante de proporcionalidad y la fórmula si 5 kilos de frijoles cuestan ₡8 750 (precio inventado)?#

Es proporcionalidad directa porque el precio total depende del peso con un precio fijo por kilo. La constante es el precio de un kilo: 8 750 ÷ 5 = ₡1 750. La fórmula es y = 1 750 · x, con x los kilos y y el costo. Con ella, 12 kilos costarían 1 750 · 12 = ₡21 000.

¿La tabla x = 2, 4, 5 y y = 30, 15, 12 corresponde a proporcionalidad directa o inversa?#

Se calculan los productos: 2 · 30 = 60, 4 · 15 = 60 y 5 · 12 = 60. Como son iguales, es proporcionalidad inversa con constante 60 y fórmula y = 60 ÷ x. Los cocientes serían 15, 3,75 y 2,4, que no son constantes, así que no puede ser directa.

¿Cuántas horas necesitan 15 máquinas iguales para un pedido que 9 de ellas producen en 20 horas?#

La cantidad de trabajo se mantiene fija: 9 · 20 = 180 «máquinas por hora». Con 15 máquinas, el tiempo es 180 ÷ 15 = 12 horas. Es una relación inversa: al aumentar las máquinas disminuye el tiempo, y el producto de ambas cantidades permanece igual.

¿Cómo reconoces en una gráfica de puntos si la relación es directa?#

Los puntos de una relación directa se alinean en una sola recta que arranca en el origen (0, 0), porque y = k · x. Si los puntos se alinean pero la recta no pasa por el origen, o forman una curva, no es proporcionalidad directa. En una inversa los puntos descienden en forma de curva, sin tocar los ejes.

¿Es y = 3x + 2 una relación de proporcionalidad directa?#

No. Para x = 1 se obtiene y = 5 y para x = 2 se obtiene y = 8; los cocientes son 5 ÷ 1 = 5 y 8 ÷ 2 = 4, distintos. Además, cuando x = 0 el resultado es y = 2, así que la gráfica no pasa por el origen. Una relación directa tiene la forma y = k · x, sin término independiente.