Representaciones de una relación: verbal, tabla, gráfica y fórmula

En la fotocopiadora frente al colegio cobran ₡25 por hoja. Un compañero necesita sacar 8 copias de un resumen y otra compañera, 30. Para saber cuánto pagará cada uno puedes usar varias representaciones de una relación: contarlo con palabras, armar una tabla, dibujar un gráfico o escribir una fórmula. Las cuatro cuentan la misma historia. Aquí verás cómo pasar de una a otra sin perderte.

Las cuatro representaciones#

Con el ejemplo de la fotocopiadora, las cuatro se ven así:

• Verbal: el costo es igual a 25 colones multiplicados por la cantidad de hojas.
• Tabular: una tabla con pares de valores.
• Gráfica: puntos en el plano cartesiano, con las hojas en el eje horizontal y el costo en el vertical.
• Algebraica: una expresión como y = 25x, donde x son las hojas y y es el costo en colones.

Hojas (x)	0	1	2	4	8	30
Costo en ₡ (y)	0	25	50	100	200	750

La tabla responde de inmediato lo que pidieron los compañeros: 8 copias cuestan ₡200 y 30 copias, ₡750. La fórmula lo hace para cualquier cantidad: si x = 30, entonces y = 25 × 30 = 750.

De lo verbal a lo algebraico#

Aquí lo difícil es traducir. Primero identifica qué cambia (la variable independiente), qué depende de ella (la dependiente) y qué número se mantiene fijo.

Ejemplo. Un taxi cobra ₡1.000 por arrancar y ₡600 por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión del costo total.

Solución. Los kilómetros, x, son lo que cambia. El costo, y, depende de ellos. Los ₡600 se multiplican por los kilómetros y los ₡1.000 se suman una vez. La fórmula es y = 600x + 1.000. Para 5 km: y = 600 × 5 + 1.000 = ₡4.000.

Las palabras ayudan: «por cada», «cada uno» y «por» indican multiplicación; «más», «además» y «de arranque» indican una suma fija.

De la fórmula a la tabla#

Se sustituyen valores de x y se calcula y. Con y = 2x + 3:

x	−1	0	1	2	3
y = 2x + 3	1	3	5	7	9

Un detalle: para x = −1, y = 2 × (−1) + 3 = −2 + 3 = 1. Si el contexto lo permite, usa también valores negativos o cero para ver cómo se comporta la relación. En el taxi no tendría sentido un kilometraje negativo, y por eso allí solo se usan números mayores o iguales que cero.

De la tabla a la gráfica#

Cada columna de la tabla es una pareja ordenada (x, y). Con la tabla anterior, los puntos son (−1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7) y (3, 9). Se ubican en el plano: primero te mueves en horizontal según x y luego en vertical según y.

Estos puntos quedan alineados sobre una recta: cada vez que x aumenta 1, y aumenta 2. Esa regularidad es la que se ve en la fórmula, donde el 2 multiplica a x.

Antes de unir los puntos, decide si tiene sentido. Las hojas fotocopiadas son números enteros: no existen 2,5 hojas. En ese caso se dibujan solo los puntos y no la línea continua. Los kilómetros del taxi, en cambio, sí pueden ser fraccionarios (3,5 km), así que se puede trazar la línea.

De la tabla a la fórmula#

Este es el camino inverso y se resuelve buscando el patrón.

Ejemplo. Una tabla muestra: x = 1, 2, 3, 4 y y = 7, 10, 13, 16. Encuentra la fórmula.

Solución. Cuando x crece 1, y crece 3, así que la fórmula empieza con 3x. Para x = 1, 3x vale 3, pero y vale 7; faltan 4. Se prueba y = 3x + 4. Con x = 2: 6 + 4 = 10, correcto. Con x = 4: 12 + 4 = 16, correcto. La fórmula es y = 3x + 4.

El método: calcula cuánto aumenta y cuando x aumenta 1; ese número multiplica a x. Después comprueba qué falta para llegar al valor de la tabla.

De la gráfica a las otras formas#

Si te dan una gráfica, lee algunos puntos exactos, arma con ellos una tabla y luego busca la fórmula como en el caso anterior. Si la recta pasa por (0, 2) y por (1, 5), el cambio de y es 3 por cada unidad de x, y el valor de y cuando x = 0 es 2. La expresión es y = 3x + 2. Para describirla en palabras: «comienza en 2 y aumenta 3 por cada unidad».

Un problema completo, de principio a fin#

Ejemplo. Una vendedora de la feria paga ₡2.000 por el puesto cada sábado y gana ₡150 por cada manojo de culantro que vende. Representa la ganancia de forma tabular, algebraica y gráfica, y di cuántos manojos necesita vender para no perder dinero.

Solución. Si x es la cantidad de manojos y y la ganancia en colones, la ganancia es lo que entra menos lo que se paga por el puesto: y = 150x − 2.000. Se arma la tabla:

Manojos (x)	0	5	10	14	20
Ganancia en ₡ (y)	−2.000	−1.250	−500	100	1.000

Con x = 0, la ganancia es −2.000: sin vender nada, ya pagó el puesto. Con 10 manojos todavía va perdiendo 500. Con 14 ya gana ₡100. El punto exacto de equilibrio está donde y = 0, o sea, 150x = 2.000, y entonces x = 13,3. Como los manojos se venden enteros, necesita vender 14 manojos para no perder.

En la gráfica, los puntos suben de izquierda a derecha y cruzan el eje horizontal entre 13 y 14. Esa lectura visual coincide con el cálculo, y esa coincidencia es la mejor comprobación que tienes entre representaciones.

Qué cambia cuando la relación no es una recta#

No todas las relaciones tienen una fórmula de la forma y = ax + b. Si el lado de un cuadrado mide x, su área es y = x². La tabla da x = 1, 2, 3, 4 y y = 1, 4, 9, 16. Aquí y no aumenta lo mismo cada vez: sube 3, luego 5, luego 7. Por eso la gráfica es una curva y no una recta. Cuando al buscar el patrón los aumentos de y no son iguales, ya sabes que la fórmula no es de la forma 3x + 4 y que hay que buscar otro tipo de relación.

Errores frecuentes#

• Invertir los ejes. La pareja (x, y) se marca primero en horizontal y luego en vertical. El punto (2, 7) no es el (7, 2).
• Probar la fórmula con un solo dato. Una fórmula debe funcionar con todos los puntos de la tabla; si comprobaste uno, comprueba otro.
• Olvidar el valor fijo. En el taxi, escribir y = 600x deja por fuera los ₡1.000 de arranque.
• Unir puntos cuando la variable es discreta. Si se cuentan hojas, personas o carros, no hay valores entre un punto y el siguiente.

Para practicar, escoge algo de tu vida diaria, como el costo del pasaje por viaje en un mes, y escríbelo en las cuatro formas. Si las cuatro coinciden, la relación está bien representada.

Ponte a prueba#

Una pulpería vende cada helado a ₡700. Escribe la fórmula del costo y calcula el precio de 6 helados.#

Completa la tabla de y = 4x − 1 para x = 0, 1, 2 y 3.#

Una tabla tiene x = 1, 2, 3, 4 y y = 5, 7, 9, 11. ¿Cuál es la fórmula?#

Un parqueo cobra ₡500 de entrada y ₡300 por hora. Describe la relación en forma algebraica y calcula el costo de 4 horas.#

¿Por qué en una gráfica de la cantidad de personas que entran a un cine no se unen los puntos con una línea?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de estudio de Matemáticas, III ciclo (MEP, Costa Rica) (PDF)