¿Qué comida típica prefieren en tu sección? ¿Cuánto crece una planta de frijol en dos semanas? ¿Qué talla de zapato es la más común en el grupo? Para responder preguntas así no basta con opinar: hay que recolectar datos, ordenarlos y presentarlos de forma que cualquier persona pueda leerlos. Para eso sirven los cuadros y los gráficos estadísticos.
Definición
La frecuencia absoluta de un valor o de una categoría es el número de veces que aparece en los datos. La frecuencia porcentual indica qué parte del total representa, en por ciento: se divide la frecuencia absoluta entre el total de datos y el resultado se multiplica por 100. Un cuadro ordena esas frecuencias en filas y columnas, y un gráfico las muestra con barras, sectores, líneas o puntos.
Dos formas de recolectar datos: experimentar o preguntar#
Todo estudio empieza con una pregunta y con la decisión de qué o a quién se va a observar. Cada persona u objeto observado es una unidad estadística, y lo que se observa en ella es la característica de interés. El programa del MEP propone dos maneras de obtener datos del entorno:
- Experimentación: se mide, se cuenta o se observa directamente. Por ejemplo, medir con una cinta métrica la estatura de cada estudiante, contar las pulsaciones durante un minuto o anotar cada dos días la altura de una planta.
- Interrogación: se pregunta a las personas, de viva voz o con un cuestionario corto. Por ejemplo, preguntar a cada estudiante qué comida típica prefiere o cuántos vasos de agua tomó ayer.
Conviene planear antes de recolectar: hacer la pregunta con las mismas palabras a todas las personas, dar opciones claras cuando la respuesta es una categoría (por ejemplo, «mucho, regular, poco, nada»), medir siempre con el mismo instrumento y en la misma unidad, y anotar cada dato en el momento, en una hoja ordenada.
Ejemplo. Un grupo quiere saber cuánta agua toman sus integrantes en un día de clases. ¿Cuál es la unidad estadística, cuál la característica y cómo se recolectan los datos?
Solución. La unidad estadística es cada estudiante del grupo, y la característica, la cantidad de vasos de agua que tomó el día anterior. Los datos se recogen por interrogación: se hace la misma pregunta a todos, el mismo día, y se acuerda qué cuenta como «un vaso», para que las respuestas se puedan comparar.
El cuadro de frecuencias absolutas y porcentuales#
Ejemplo. En la sección 8-3, de 25 estudiantes, se preguntó: «¿Cuál de estas comidas típicas prefieres?». Respondieron: gallo pinto, 9; casado, 7; olla de carne, 4; tamal, 3, y chifrijo, 2. Construye el cuadro de frecuencias.
Solución. Cada frecuencia porcentual sale de dividir entre 25 y multiplicar por 100: 9 ÷ 25 · 100 = 36 %; 7 ÷ 25 · 100 = 28 %; 4 ÷ 25 · 100 = 16 %; 3 ÷ 25 · 100 = 12 %, y 2 ÷ 25 · 100 = 8 %. Las frecuencias absolutas suman 25, y las porcentuales, 100 %.
| Comida preferida | Frecuencia absoluta | Frecuencia porcentual |
|---|---|---|
| Gallo pinto | 9 | 36 % |
| Casado | 7 | 28 % |
| Olla de carne | 4 | 16 % |
| Tamal | 3 | 12 % |
| Chifrijo | 2 | 8 % |
| Total | 25 | 100 % |
Todo cuadro lleva un título que diga qué se midió, a quién y cuándo; por ejemplo: «Comida típica preferida por los estudiantes de la sección 8-3, octubre». Con ese título, cualquiera lo puede leer sin pedir explicaciones.
Cuadros comparativos: grupos de distinto tamaño#
Un cuadro comparativo pone lado a lado los datos de dos o más grupos. Si los grupos no tienen la misma cantidad de personas, las frecuencias absolutas engañan; por eso, según el programa del MEP, hay que comparar con frecuencias porcentuales.
Ejemplo. En la sección 8-5, de 20 estudiantes, se hizo la misma pregunta. Respondieron: gallo pinto, 5; casado, 8; olla de carne, 3; tamal, 2, y chifrijo, 2. ¿En cuál de las dos secciones es más popular el casado?
Solución. En números absolutos casi hay empate: 7 estudiantes en la 8-3 y 8 en la 8-5. En porcentaje la diferencia es clara: 28 % en la 8-3 y 8 ÷ 20 · 100 = 40 % en la 8-5. El casado es más popular en la 8-5.
| Comida preferida | 8-3 (25 estudiantes) | 8-5 (20 estudiantes) |
|---|---|---|
| Gallo pinto | 9 (36 %) | 5 (25 %) |
| Casado | 7 (28 %) | 8 (40 %) |
| Olla de carne | 4 (16 %) | 3 (15 %) |
| Tamal | 3 (12 %) | 2 (10 %) |
| Chifrijo | 2 (8 %) | 2 (10 %) |
| Total | 25 (100 %) | 20 (100 %) |
Fíjate en el chifrijo: lo eligieron 2 personas en cada sección, pero no representan la misma parte del grupo, porque 2 de 25 es el 8 % y 2 de 20 es el 10 %.
Gráficos de barras y gráficos circulares#
En un gráfico de barras, cada comida se dibuja como un rectángulo cuyo largo indica cuántas veces se eligió. Como lo único que debe cambiar de una barra a otra es el largo, todas llevan el mismo ancho, y el eje de las frecuencias se numera desde cero para que una barra el doble de larga signifique el doble de estudiantes. La tabla siguiente dibuja con símbolos el gráfico de la 8-3: cada ■ representa a un estudiante.
| Comida preferida | Barra (■ = 1 estudiante) | Frecuencia |
|---|---|---|
| Gallo pinto | ■■■■■■■■■ | 9 |
| Casado | ■■■■■■■ | 7 |
| Olla de carne | ■■■■ | 4 |
| Tamal | ■■■ | 3 |
| Chifrijo | ■■ | 2 |
Para comparar las dos secciones conviene un gráfico de barras comparativo, con dos barras juntas por comida, una por sección y de distinto color; el largo de cada una es el porcentaje del cuadro comparativo, no la frecuencia absoluta, por la misma razón que en el cuadro.
El gráfico circular muestra cómo se reparte un total. Cada categoría ocupa un sector, y el ángulo del sector es proporcional a su porcentaje. Como el círculo completo mide 360° y corresponde al 100 %, a cada punto porcentual le tocan 360° ÷ 100 = 3,6°.
| Comida preferida (8-3) | Porcentaje | Ángulo del sector |
|---|---|---|
| Gallo pinto | 36 % | 36 · 3,6° = 129,6° |
| Casado | 28 % | 28 · 3,6° = 100,8° |
| Olla de carne | 16 % | 16 · 3,6° = 57,6° |
| Tamal | 12 % | 12 · 3,6° = 43,2° |
| Chifrijo | 8 % | 8 · 3,6° = 28,8° |
| Total | 100 % | 360° |
Este gráfico funciona con la encuesta de la 8-3 porque cada estudiante marcó una sola comida y, entre todas, las respuestas completan el grupo entero. Su punto débil es la comparación: a simple vista cuesta decidir cuánto mayor es el sector de la olla de carne (57,6°) que el del tamal (43,2°), mientras que en el gráfico de barras se ve enseguida que una barra tiene 4 cuadritos y la otra, 3.
Gráficos lineales: cómo cambia una medida con el tiempo#
Cuando se mide lo mismo en momentos sucesivos, se usa un gráfico lineal: los momentos de cada medición se ubican sobre el eje horizontal, y los valores medidos, sobre el vertical. Cada medición es un punto, y los puntos seguidos se unen con segmentos para ver si la medida sube, baja o se mantiene.
Ejemplo. Para la feria científica, Valeria sembró una semilla de frijol y midió la altura de la planta cada dos días, con los resultados del cuadro (datos de ejercicio). ¿En cuál intervalo creció más la planta?
Solución. Se restan las alturas consecutivas: 3,8 − 1,5 = 2,3 cm; 6,0 − 3,8 = 2,2 cm; 8,6 − 6,0 = 2,6 cm; 10,9 − 8,6 = 2,3 cm, y 12,5 − 10,9 = 1,6 cm. Creció más entre el día 6 y el día 8, con 2,6 cm: en el gráfico lineal es el segmento más empinado. El último segmento es el menos inclinado: en esos dos días creció más despacio.
| Día | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Altura de la planta (cm) | 1,5 | 3,8 | 6,0 | 8,6 | 10,9 | 12,5 |
Diagramas de puntos#
Un diagrama de puntos sirve para datos numéricos cuando hay pocos datos o los valores son pocos: se dibuja una recta numérica con los valores posibles y, sobre cada valor, un punto por cada vez que aparece. Así se ve dónde se amontonan los datos, si hay huecos y si algún dato queda lejos de los demás. El programa del MEP lo recomienda cuando hay mucha variabilidad, como al comparar las estaturas de dos grupos.
Ejemplo. En un grupo de 20 estudiantes, cada quien revisó la talla marcada en su zapato y la anotó (datos de ejercicio): 38, 37, 40, 38, 36, 39, 38, 42, 37, 39, 38, 40, 37, 36, 39, 38, 40, 37, 39 y 38. Representa los datos en un diagrama de puntos.
Solución. Se cuenta cuántas veces aparece cada talla y se pone un punto por cada vez. En la tabla, el diagrama está acostado: cada fila es un valor de la recta numérica.
| Talla | Puntos (● = 1 estudiante) | Frecuencia |
|---|---|---|
| 36 | ●● | 2 |
| 37 | ●●●● | 4 |
| 38 | ●●●●●● | 6 |
| 39 | ●●●● | 4 |
| 40 | ●●● | 3 |
| 41 | 0 | |
| 42 | ● | 1 |
Se lee de un vistazo: 14 de los 20 estudiantes, el 70 %, calzan entre 37 y 39; nadie calza 41, y una sola persona calza 42, un poco separada del resto.
Cuadros y gráficos con la hoja de cálculo#
Con muchos datos, la computadora ahorra tiempo y errores. El programa del MEP sugiere usar una hoja de cálculo o un programa especializado para construir cuadros y gráficos. Los pasos generales son estos:
- Escribe los datos crudos en una columna, uno por celda, con un encabezado arriba, por ejemplo «Comida preferida».
- En otra zona, escribe las categorías o los valores y, al lado de cada uno, su frecuencia. La hoja tiene una función que cuenta cuántas celdas son iguales a un valor; su nombre cambia según el programa y el idioma.
- En la columna siguiente, calcula el porcentaje: frecuencia entre total, por 100. Si copias la fórmula hacia abajo, la hoja la aplica a todas las filas.
- Selecciona el cuadro y escoge en el menú el tipo de gráfico: de columnas o de barras, circular o de líneas.
- Revisa lo que hizo la computadora: que la escala empiece en cero, que el título diga qué se midió y que los porcentajes sumen 100 %.
La hoja de cálculo hace las cuentas y dibuja, pero escoger el gráfico adecuado y explicar lo que muestra sigue siendo tu trabajo.
Ponte a prueba#
¿Qué diferencia hay entre recolectar datos por experimentación y por interrogación?#
En la experimentación, quien hace el estudio obtiene el dato midiendo, contando u observando: por ejemplo, mide la estatura con una cinta métrica o cuenta las pulsaciones durante un minuto. En la interrogación, el dato lo da la persona al responder una pregunta, de viva voz o en un cuestionario, como cuando dice qué comida prefiere. En los dos casos hay que aplicar el mismo procedimiento a todas las unidades estadísticas.
¿Cuántas personas representa un sector de 81° en un gráfico circular que resume las respuestas de 40 personas?#
Cada punto porcentual equivale a 3,6° del círculo, así que el sector corresponde a 81 ÷ 3,6 = 22,5 %. El 22,5 % de 40 es 0,225 · 40 = 9 personas. Se puede comprobar al revés: 9 ÷ 40 · 100 = 22,5 %, y 22,5 · 3,6° = 81°. También sirve pensar en fracciones del círculo: 81/360 de 40 personas son 9.
¿En qué grupo es más popular el fútbol si lo prefieren 12 de los 40 estudiantes de un grupo y 9 de los 24 de otro?#
En números absolutos gana el primer grupo, 12 contra 9, pero ese grupo también es más grande. Si se pasa a porcentajes, 12 ÷ 40 · 100 = 30 % y 9 ÷ 24 · 100 = 37,5 %. El fútbol es más popular en el segundo grupo: lo prefiere más de un tercio de sus estudiantes, y en el primero, menos de un tercio. Con grupos de distinto tamaño, la comparación se hace con las frecuencias porcentuales.
¿Qué gráfico conviene para mostrar la temperatura de un aula medida cada hora durante una mañana?#
Un gráfico lineal, porque se mide la misma característica en momentos sucesivos. Sobre el eje horizontal se marcan las horas, y sobre el vertical, los grados; cada medición es un punto y los puntos seguidos se unen con segmentos. Así se ve en qué horas sube la temperatura, en cuáles baja y en cuál intervalo cambia más.
¿Cuántos estudiantes calzan 39 o más en el diagrama de puntos de la talla de zapato, y qué porcentaje del grupo son?#
Se suman los puntos de las tallas 39, 40, 41 y 42: 4 + 3 + 0 + 1 = 8 estudiantes. Como el grupo tiene 20, son 8 ÷ 20 · 100 = 40 %. Los otros 12 estudiantes, el 60 %, calzan 36, 37 o 38.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
