Ecuación de primer grado y función lineal: raíz y cero

Un taller de serigrafía cobra ₡15 000 por preparar el diseño y ₡4500 por cada camiseta estampada (precios de ejercicio). Si el grupo de octavo reunió ₡96 000, ¿cuántas camisetas puede encargar? La pregunta se puede mirar de dos maneras: como la ecuación 4500x + 15 000 = 96 000, o como la función y = 4500x + 15 000, en la que se busca el valor de x que hace que y valga 96 000. Las dos miradas llevan a la misma respuesta, y cada una ayuda a entender la otra, sobre todo cuando se busca el cero de una función.

Ya sabes graficar funciones lineales y resolver ecuaciones de primer grado; aquí se juntan las dos cosas.

Una misma pregunta, dos miradas#

Volvamos a las camisetas. Si x es la cantidad de camisetas e y el costo total en colones, el taller cobra según la función y = 4500x + 15 000. Una tabla con algunos valores muestra cómo crece el costo:

Camisetas (x)	0	6	12	18	24
Costo en colones (y)	15 000	42 000	69 000	96 000	123 000

En la tabla, el costo de ₡96 000 aparece en la columna de x = 18. Con la ecuación se llega al mismo número sin tener que probar valores: en 4500x + 15 000 = 96 000 se resta 15 000 a los dos miembros y queda 4500x = 81 000; al dividir entre 4500, x = 18. El grupo puede encargar 18 camisetas.

Ejemplo. Si el grupo solo hubiera reunido ₡80 000, ¿cuántas camisetas podría encargar?

Solución. Ninguna columna de la tabla da ese costo, así que conviene la ecuación: 4500x + 15 000 = 80 000. Se resta 15 000: 4500x = 65 000, y se divide: x = 65 000 ÷ 4500 = 130/9 ≈ 14,4. Como 130/9 no es entero y nadie encarga pedazos de camiseta, el dinero alcanza para 14. Esas 14 cuestan 4500 · 14 + 15 000 = ₡78 000, y sobran ₡2000.

La raíz en la gráfica#

Cada punto de la gráfica de y = ax + b tiene la forma (x, y). En octavo se dibujan algunos de esos puntos a partir de una tabla, y todos quedan alineados sobre una recta. Resolver ax + b = c es buscar el punto de la recta cuya segunda coordenada vale c. Si se traza la recta horizontal y = c, la raíz es la primera coordenada del punto donde esa horizontal corta la gráfica.

Ejemplo. Usa una tabla de y = 3x − 2 para resolver las ecuaciones 3x − 2 = 7 y 3x − 2 = −8.

Solución. En la tabla de abajo, y vale 7 cuando x = 3, así que la raíz de 3x − 2 = 7 es 3; en la gráfica es el punto (3, 7). Y vale −8 cuando x = −2: la raíz de 3x − 2 = −8 es −2, y el punto es (−2, −8). Se confirma despejando: 3x = 9 da x = 3, y 3x = −6 da x = −2.

x	−2	−1	0	1	2	3
y = 3x − 2	−8	−5	−2	1	4	7

Si a no es 0, la recta y = ax + b está inclinada, y una recta horizontal la corta en un único punto. Por eso cada ecuación ax + b = c con a ≠ 0 tiene exactamente una raíz.

El cero de una función lineal#

El caso c = 0 tiene nombre propio. La ecuación ax + b = 0 busca el valor de x que hace que y valga 0. En el plano cartesiano, los puntos con y = 0 son los del eje x, o eje de las abscisas; por eso el cero de la función es la primera coordenada del punto donde la recta corta ese eje.

No confundas los dos cortes de la recta con los ejes. El punto (0, b), sobre el eje y, se lee directamente en la fórmula. El punto (−b/a, 0), sobre el eje x, hay que calcularlo resolviendo una ecuación.

Ejemplo. Halla el cero de y = 5x + 13 y los puntos donde su gráfica corta cada eje.

Solución. Se resuelve 5x + 13 = 0: 5x = −13, así que x = −13/5 = −2,6. Los cortes con los ejes son (−2,6; 0), sobre el eje x, y (0, 13), sobre el eje y. Comprobación: 5 · (−2,6) + 13 = −13 + 13 = 0.

Un cero con significado: la vela#

Ejemplo. Una vela mide 24 cm y, encendida, se acorta 1,5 cm por hora (datos de ejercicio). Su altura, en centímetros, es y = 24 − 1,5x, donde x son las horas encendida. ¿Cuándo medirá 15 cm? ¿Cuál es el cero de la función y qué significa?

Solución. Para los 15 cm se resuelve 24 − 1,5x = 15: se resta 24, −1,5x = −9, y se divide entre −1,5: x = 6. La vela mide 15 cm a las 6 horas. Para el cero se resuelve 24 − 1,5x = 0: 1,5x = 24, así que x = 16. A las 16 horas la altura llega a 0: la vela se terminó.

Horas encendida (x)	0	4	8	12	16
Altura en cm (y)	24	18	12	6	0

En la tabla, el cero es la columna donde la altura vale 0. Como a = −1,5 es negativo, la altura siempre baja, 6 cm cada 4 horas. El cero también marca hasta dónde sirve el modelo: la fórmula describe la vela para x entre 0 y 16, y después ya no hay vela que medir, aunque la fórmula dé números negativos.

Toda raíz es el cero de otra función#

Si a los dos miembros de ax + b = c se les resta c, se obtiene la ecuación equivalente ax + b − c = 0. Las dos tienen la misma raíz, y la segunda pide el cero de la función y = ax + b − c. Así, la raíz de ax + b = c coincide con el cero de y = ax + b − c: cualquier ecuación de primer grado se puede leer como la búsqueda de un cero.

Ejemplo. Resuelve 4x + 1 = 13 como raíz de una ecuación y como cero de una función.

Solución. Como raíz: 4x = 12, así que x = 3. Como cero: se resta 13 a los dos miembros, 4x − 12 = 0, y el cero de y = 4x − 12 es 12 ÷ 4 = 3. La tabla compara las dos funciones: en la misma columna, x = 3, la primera vale 13 y la segunda vale 0.

x	1	2	3	4	5
y = 4x + 1	5	9	13	17	21
y = 4x − 12	−8	−4	0	4	8

En cada columna, el segundo renglón es el primero menos 13. En la gráfica, la recta y = 4x − 12 es la recta y = 4x + 1 bajada 13 unidades: el punto (3, 13) de la primera pasa a ser el punto (3, 0) de la segunda, sobre el eje x. Con las camisetas pasa lo mismo: 4500x + 15 000 = 96 000 equivale a 4500x − 81 000 = 0, y el cero de y = 4500x − 81 000 es otra vez 18.

Cuando a = 0: ninguna raíz o todas#

Si a = 0, la función queda y = b. Se llama función constante, porque y no cambia, y se dibuja como una línea paralela al eje x. La ecuación 0 · x + b = c ya no se comporta como las anteriores:

• Si b ≠ c, no tiene raíz. Por ejemplo, 0 · x + 5 = 8 no se cumple con ningún número, porque 0 · x vale siempre 0 y queda 5 = 8, que es falso. En la gráfica, las horizontales y = 5 e y = 8 son paralelas y nunca se cortan: el conjunto solución es vacío.
• Si b = c, todos los números son raíces. La ecuación 0 · x + 5 = 5 se cumple con cualquier valor de x, porque las dos horizontales coinciden.
• Lo mismo ocurre con los ceros: la función y = 5 no tiene ningún cero, porque su gráfica nunca toca el eje x, y en la función y = 0 todos los valores de x son ceros.

Ejemplo. Un parqueo cobra una tarifa fija de ₡2500 por día, sin importar cuántas horas se quede el carro (precio de ejercicio). ¿Cuántas horas hay que dejarlo para pagar ₡4000?

Solución. El cobro no depende de las horas: y = 0 · x + 2500, es decir, y = 2500. La ecuación 2500 = 4000 es falsa para cualquier x, así que no hay ninguna cantidad de horas con ese cobro. En cambio, la pregunta «¿cuántas horas para pagar ₡2500?» tiene como respuesta cualquier cantidad de horas dentro del mismo día.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la raíz de 6x − 5 = 13 y qué punto de la gráfica de y = 6x − 5 le corresponde?#

¿Cuál es el cero de la función y = 6 − 8x y en qué punto corta su gráfica cada eje?#

¿Qué función lineal tiene como cero la raíz de la ecuación 7x + 2 = 30?#

¿Por qué la ecuación 0 · x + 3 = 9 no tiene raíz?#

¿Cuál es el cero de y = 18 − 0,6x si y son los kilos de alimento que quedan en un saco después de x días, y qué significa?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)