Propiedades conmutativa y asociativa y potencias de números enteros

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Térraba (Sétimo año) Lección 8 de 11

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 7 min de lectura

¿Cuánto es 25 · (−13) · 4? Si se multiplica en el orden en que aparece, la cuenta es incómoda. Pero si primero se hace 25 · 4 = 100, el resultado sale casi solo: 100 · (−13) = −1 300. Cambiar el orden y la agrupación de los números está permitido gracias a dos propiedades de la suma y la multiplicación: la conmutativa y la asociativa.

En esta lección vas a usar esas propiedades para simplificar cálculos con números enteros, a calcular potencias cuya base es un número entero y a aplicar las propiedades de las potencias de igual base.

Definición

La propiedad conmutativa dice que el orden de los sumandos o de los factores no cambia el resultado. La propiedad asociativa dice que la forma de agruparlos tampoco lo cambia. Una potencia aⁿ, con base a entera y exponente n natural, es el producto de n factores iguales a a: aⁿ = a · a · … · a.

Las propiedades conmutativa y asociativa#

Las dos propiedades se cumplen en la suma y en la multiplicación de números enteros. Si a, b y c son números enteros:

Propiedad	En la suma	En la multiplicación
Conmutativa	a + b = b + a	a · b = b · a
Asociativa	(a + b) + c = a + (b + c)	(a · b) · c = a · (b · c)

Algunos ejemplos con negativos:

Conmutativa de la suma: (−8) + 5 = −3 y 5 + (−8) = −3.
Asociativa de la suma: [(−2) + (−6)] + 9 = (−8) + 9 = 1, y (−2) + [(−6) + 9] = (−2) + 3 = 1.
Asociativa de la multiplicación: [(−3) · 4] · (−5) = (−12) · (−5) = 60, y (−3) · [4 · (−5)] = (−3) · (−20) = 60.

La resta y la división no las cumplen#

En la resta, el orden sí importa: 3 − 8 = −5, pero 8 − 3 = 5. La agrupación también: (10 − 6) − 2 = 2, pero 10 − (6 − 2) = 6. Lo mismo pasa con la división: (48 ÷ 4) ÷ 2 = 6, pero 48 ÷ (4 ÷ 2) = 24. Por eso, antes de reordenar una resta conviene escribirla como suma del opuesto: 3 − 8 = 3 + (−8), y esa suma sí se puede reordenar.

Cómo simplificar cálculos con estas propiedades#

La estrategia es buscar sumandos o factores que, juntos, den números cómodos: los positivos con los positivos, los negativos con los negativos, o parejas que den 0, 10 o 100.

Ejemplo. Calcula 14 + (−9) + 6 + (−11).

Solución. Se juntan los positivos y los negativos: (14 + 6) + [(−9) + (−11)] = 20 + (−20) = 0. El cambio de orden lo permite la conmutativa, y el agrupamiento, la asociativa.

Ejemplo. Calcula (−5) · 17 · (−2).

Solución. Se multiplican primero los dos negativos: [(−5) · (−2)] · 17 = 10 · 17 = 170.

Ejemplo. Supón que una soda anota sus resultados de lunes a viernes en colones: 12 500, −3 000, 7 500, −7 000 y −10 000. ¿Ganó o perdió en la semana?

Solución. Se agrupan las ganancias y las pérdidas: (12 500 + 7 500) + [(−3 000) + (−7 000) + (−10 000)] = 20 000 + (−20 000) = 0. La soda no ganó ni perdió: las ganancias compensaron exactamente las pérdidas.

Potencias con base entera#

En la potencia aⁿ, el número a es la base y n es el exponente: indica cuántas veces se repite la base como factor. Se lee «a a la n»; si el exponente es 2 se dice «al cuadrado», y si es 3, «al cubo». Cuando la base es negativa se escribe entre paréntesis: (−2)³.

Potencia	Desarrollo	Resultado
(−2)³	(−2) · (−2) · (−2)	−8
(−2)⁴	(−2) · (−2) · (−2) · (−2)	16
(−1)⁷	siete factores −1	−1
(−1)¹⁰	diez factores −1	1
(−10)³	(−10) · (−10) · (−10)	−1 000
0⁵	0 · 0 · 0 · 0 · 0	0

Por la ley de signos, el signo de una potencia de base negativa depende del exponente: si el exponente es par, el resultado es positivo; si es impar, es negativo. Una potencia de base positiva siempre es positiva. Además, a¹ = a: por ejemplo, (−9)¹ = −9.

No es lo mismo −3⁴ que (−3)⁴#

En (−3)⁴, la base es −3 y se multiplica cuatro veces: (−3)⁴ = 81. En −3⁴, sin paréntesis, la base es 3, y el signo − pide el opuesto del resultado: −3⁴ = −(3⁴) = −81. El paréntesis cambia el resultado.

Propiedades de las potencias de igual base#

Cuando varias potencias tienen la misma base, el resultado se puede representar como una sola potencia. Las propiedades salen de la definición:

Fórmula

a^m · aⁿ = a^{m + n}

Producto de potencias de igual base: se conserva la base y se suman los exponentes. Ejemplo: (−2)³ · (−2)² = [(−2)(−2)(−2)] · [(−2)(−2)] = (−2)⁵, porque hay cinco factores.

Fórmula

a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}, con a ≠ 0 y m ≥ n

Cociente de potencias de igual base: se conserva la base y se restan los exponentes. Ejemplo: 7⁵ ÷ 7³ = (7 · 7 · 7 · 7 · 7) ÷ (7 · 7 · 7) = 7², porque se cancelan tres factores.

Fórmula

(a^m)ⁿ = a^{m · n}

Potencia de una potencia: se conserva la base y se multiplican los exponentes. Ejemplo: ((−3)²)³ = (−3)² · (−3)² · (−3)² = (−3)⁶.

Fórmula

a⁰ = 1, con a ≠ 0

Exponente cero: como a³ ÷ a³ = 1 (un número dividido entre sí mismo) y, por la regla del cociente, a³ ÷ a³ = a⁰, se define a⁰ = 1. Por ejemplo, (−6)⁰ = 1.

Ejemplo. Representa como una sola potencia: 5¹² · 5⁹.

Solución. La base es la misma, así que se suman los exponentes: 5¹² · 5⁹ = 5^{12 + 9} = 5²¹. No hace falta calcular el número completo: la potencia ya es una representación del resultado.

Ejemplo. Calcula (−4)¹⁵ ÷ (−4)¹¹.

Solución. Se restan los exponentes: (−4)^{15 − 11} = (−4)⁴. El exponente 4 es par, así que el resultado es positivo: (−4)⁴ = 256.

Ejemplo. Simplifica (2⁵)⁴ y 3⁴ · 3² ÷ 3⁵.

Solución. En la primera se multiplican los exponentes: (2⁵)⁴ = 2²⁰. En la segunda, de izquierda a derecha: 3⁴ · 3² = 3⁶, y 3⁶ ÷ 3⁵ = 3¹ = 3.

Cuándo no se pueden usar#

Estas propiedades solo valen para multiplicar, dividir o elevar potencias de igual base. Con bases distintas no se aplican: 2³ · 3² = 8 · 9 = 72, que no es 6⁵. Tampoco valen para sumas: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, mientras que 2⁵ = 32.

Errores frecuentes#

Multiplicar la base por el exponente. (−2)³ no es (−2) · 3 = −6, sino (−2) · (−2) · (−2) = −8.
Olvidar el paréntesis. −5² = −25, mientras que (−5)² = 25.
Multiplicar los exponentes en un producto. a⁴ · a³ es a⁷, no a¹²; los exponentes se multiplican solo en la potencia de una potencia.
Creer que a⁰ = 0. Para cualquier base distinta de cero, la potencia con exponente 0 vale 1.

Ponte a prueba#

¿Cómo se calcula de forma sencilla 4 · (−19) · 25?#

Con las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación se cambia el orden y se agrupan primero los factores que dan un número redondo: (4 · 25) · (−19) = 100 · (−19) = −1 900. El resultado es el mismo que si se multiplicara en el orden original, pero el cálculo es mucho más sencillo.

¿Cuánto vale (−2) elevado a la quinta?#

Vale −32. La potencia significa usar la base −2 cinco veces como factor: (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2). El valor absoluto del resultado es 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, y como el exponente 5 es impar y la base es negativa, el resultado es negativo.

¿Por qué −4² y (−4)² dan resultados distintos?#

Porque la base no es la misma. En (−4)², la base es −4: (−4) · (−4) = 16. En −4², sin paréntesis, la base es 4 y el signo menos pide el opuesto del resultado: −(4 · 4) = −16. Por eso, cuando la base es negativa, hay que escribirla entre paréntesis.

¿Cómo se escribe como una sola potencia (−7)⁸ · (−7)⁵ ÷ (−7)⁶?#

Todas las potencias tienen la misma base, −7. Primero el producto: se suman los exponentes, 8 + 5 = 13, y queda (−7) a la 13. Luego el cociente: se restan los exponentes, 13 − 6 = 7. El resultado es (−7) a la séptima, que es un número negativo porque el exponente es impar.

¿Es cierto que 2³ · 2⁴ = 4⁷?#

No. En un producto de potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes, así que 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128. Multiplicar también las bases es un error: 4⁷ = 16 384, que es un número mucho mayor. La base 2 se mantiene.

Fuentes#

Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)

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