Números enteros: qué son, el opuesto y el valor absoluto

Hasta sexto grado trabajaste con los números naturales (0, 1, 2, 3…), con fracciones y con decimales. Con ellos no se puede responder una pregunta tan sencilla como cuánto es 6 − 11: si tienes ₡6 000 y algo cuesta ₡11 000, no te sobra dinero, te faltan ₡5 000. Para expresar lo que falta, lo que está bajo cero o lo que queda por debajo de un punto de referencia se usan los números negativos, que el programa del MEP introduce en sétimo año.

En esta lección vas a conocer el conjunto de los números enteros, a reconocer los números negativos en situaciones de la vida real y a calcular dos cosas que vas a usar en todo el año: el opuesto y el valor absoluto de un número entero.

Los números negativos en la vida diaria#

Muchas situaciones tienen un punto de referencia, que se representa con el 0, y dos sentidos: por encima o por debajo, ganar o perder, subir o bajar. Lo que va en un sentido se escribe con números positivos y lo que va en el sentido contrario, con números negativos. A veces el texto no dice «menos», pero la situación se puede modelar con el signo −.

Situación	Punto de referencia (0)	Número entero
El termómetro marca 4 grados bajo cero	0 °C	−4
Un buzo nada a 12 m bajo el nivel del mar	El nivel del mar	−12
Una gaviota vuela a 30 m sobre el nivel del mar	El nivel del mar	+30 o 30
Una persona debe ₡2 500	No deber ni tener dinero	−2 500
Una pulpería ganó ₡8 000 en un día	No ganar ni perder	+8 000 o 8 000
El ascensor está en el segundo sótano	La planta baja	−2
Un bote flota en la superficie del mar	El nivel del mar	0

El signo + de los positivos casi nunca se escribe: +30 y 30 son el mismo número. El signo − de los negativos, en cambio, siempre se escribe, porque es lo que distingue −30 de 30.

Ejemplo. Mariana quiere comprar un bulto de ₡18 500 y una calculadora de ₡9 750, pero lleva ₡25 000. ¿Le alcanza? ¿Qué número entero representa su situación?

Solución. Las dos compras suman 18 500 + 9 750 = 28 250 colones. Como 28 250 es mayor que 25 000, no le alcanza: le faltan 28 250 − 25 000 = 3 250 colones. Lo que falta se representa con un número negativo: −3 250.

Ejemplo. Escribe con un número entero: «El submarino descendió 85 metros desde la superficie».

Solución. La referencia es la superficie del mar (0) y el submarino queda por debajo, así que su posición es −85 metros.

Positivos, negativos y el cero#

Todo número natural es también un número entero: el 7 es natural y entero. Pero no todo entero es natural: el −7 es entero y no es natural. Por eso se dice que los números naturales son una parte de los enteros.

Tampoco todo número es entero. El 2,5 no lo es, porque está entre el 2 y el 3. Una fracción puede ser un entero si la división es exacta: 12/4 es igual a 3, que sí es entero; en cambio, 5/2 = 2,5 no lo es.

Ejemplo. Clasifica los números −8, 0, 15, −1, 3 y 2,5.

Solución. Enteros negativos: −8 y −1. Enteros positivos: 15 y 3. El 0 es entero, pero no es positivo ni negativo. El 2,5 no es un número entero.

El opuesto de un número entero#

Dos números son opuestos cuando están a la misma distancia del 0 pero en lados contrarios de la recta numérica. Por ejemplo, 9 está a 9 unidades a la derecha del 0, y −9 está a 9 unidades a la izquierda: 9 y −9 son opuestos. El opuesto de 0 es el mismo 0.

Para escribir «el opuesto de un número» se pone el signo − delante del número, entre paréntesis si hace falta:

Número	Su opuesto	Cómo se escribe
9	−9	−(9) = −9
−15	15	−(−15) = 15
−1	1	−(−1) = 1
240	−240	−(240) = −240
0	0	−(0) = 0

Un número y su opuesto se compensan: si subes 7 pisos en un ascensor y luego bajas 7, quedas en el piso donde empezaste. Cuando estudies la suma de enteros verás que un número más su opuesto siempre da 0.

Ejemplo. Calcula −(−(−6)).

Solución. Se trabaja de adentro hacia afuera. Primero, −(−6) es el opuesto de −6, que es 6. Después queda −(6), el opuesto de 6, que es −6. Entonces −(−(−6)) = −6.

Ejemplo. ¿De qué número es opuesto el −52?

Solución. Del 52, porque el opuesto de 52 es −52. También se cumple al revés: el opuesto de −52 es 52.

El valor absoluto: la distancia al cero#

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay entre ese número y el 0 en la recta numérica. Se escribe entre dos barras verticales: |a|. Como es una distancia, nunca es negativo.

Por ejemplo, el 7 y el −7 están los dos a 7 unidades del 0, así que |7| = 7 y |−7| = 7. El 0 está a distancia cero de sí mismo: |0| = 0.

Una consecuencia de la definición es que un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto: |−9| = |9| = 9. El signo de un número indica el sentido (arriba o abajo, ganancia o pérdida) y el valor absoluto indica el tamaño o la distancia.

Ejemplo. Calcula |−23| + |5| y −|−4|.

Solución. Primero se calculan los valores absolutos: |−23| = 23 y |5| = 5, así que |−23| + |5| = 23 + 5 = 28. En la segunda expresión, |−4| = 4, y el signo − de afuera pide su opuesto: −|−4| = −4.

Ejemplo. Desde el parque central de un pueblo, la casa de Diego está 300 m al norte y la de Sofía, 450 m al sur. Si el norte se representa con números positivos, ¿qué número corresponde a cada casa y quién vive más lejos del parque?

Solución. La casa de Diego está en +300 y la de Sofía en −450. Para saber quién vive más lejos se comparan las distancias, es decir, los valores absolutos: |300| = 300 y |−450| = 450. Como 450 es mayor que 300, Sofía vive más lejos del parque, aunque −450 sea un número negativo.

Errores frecuentes#

• Creer que −a siempre es negativo. El signo − significa «el opuesto de». Si a = −5, entonces −a = −(−5) = 5, que es positivo.
• Dejar el signo negativo en el valor absoluto. |−8| no es −8, es 8, porque una distancia no puede ser negativa.
• Pensar que el 0 es positivo. El 0 es el punto de referencia: no es positivo ni negativo.
• Confundir el opuesto con el valor absoluto. Para el −8 coinciden (los dos dan 8), pero para el 8 no: el opuesto de 8 es −8 y su valor absoluto es 8.

Ponte a prueba#

¿Qué número entero representa una deuda de ₡12 000?#

¿Cuál es el opuesto de −35 y cuál es su valor absoluto?#

¿Cuánto es |−14| + |9| − |−3|?#

¿Qué números enteros tienen valor absoluto igual a 11?#

¿Por qué no hay ningún número entero cuyo valor absoluto sea −5?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)