Orden de los números enteros y cómo ubicarlos en la recta numérica

¿Hace más frío a −3 °C o a −8 °C? ¿Está más abajo un buzo a −15 m o uno a −6 m? Para responder hay que comparar números enteros, y con los negativos la intuición falla con facilidad: 8 es mayor que 3, pero −8 es menor que −3.

En esta lección vas a construir la recta numérica de los enteros, a ubicar en ella números positivos y negativos, a usar los símbolos de orden y a resolver problemas en los que hay que comparar, ordenar o contar números enteros.

Cómo construir la recta numérica de los enteros#

En primaria aprendiste a hacer la ubicación en la recta numérica de los números naturales. Para los enteros, la recta se extiende también hacia la izquierda del 0:

1. Traza una recta y marca un punto para el 0, que se llama origen.
2. Escoge una unidad: la distancia entre dos marcas seguidas. Todas las marcas van a la misma distancia.
3. A la derecha del 0 escribe 1, 2, 3, 4…, una marca por número.
4. A la izquierda del 0 escribe −1, −2, −3, −4…, también una marca por número.
5. Pon una flecha en cada extremo: indica que la recta sigue en los dos sentidos.

Así, cada número y su opuesto quedan a la misma distancia del 0, uno de cada lado: el 4 está a cuatro marcas a la derecha y el −4, a cuatro marcas a la izquierda.

Ejemplo. Ubica en la recta numérica los números −4, 2, −1, 5 y 0.

Solución. Se cuenta desde el 0. El −4 va cuatro marcas a la izquierda; el −1, una marca a la izquierda; el 0, en el origen; el 2, dos marcas a la derecha; y el 5, cinco marcas a la derecha. De izquierda a derecha quedan en este orden: −4, −1, 0, 2, 5.

Cuando los números son grandes: la escala#

Si hay que ubicar números como −150 o 200, no se hace una marca por cada número. Se escoge una escala: por ejemplo, cada marca vale 50. Entonces el −150 queda tres marcas a la izquierda del 0 (porque 150 ÷ 50 = 3), el −50 queda una marca a la izquierda y el 200, cuatro marcas a la derecha (porque 200 ÷ 50 = 4).

Las relaciones de orden: mayor que y menor que#

Para comparar se usan los símbolos de comparación: < (menor que), > (mayor que) y = (igual a). También se usan ≤ (menor o igual que) y ≥ (mayor o igual que). En la recta numérica, el número que está más a la derecha es el mayor. De ahí salen tres reglas:

• Todo número positivo es mayor que 0, y el 0 es mayor que todo número negativo. Por ejemplo, 3 > 0 y 0 > −20; por lo tanto, 3 > −20.
• Entre dos positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto: 14 > 9.
• Entre dos negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto, porque está más cerca del 0 y, por lo tanto, más a la derecha: −3 > −8, aunque 8 > 3.

Comparación	Resultado	Por qué
−12 y −5	−12 < −5	Los dos son negativos y |−12| = 12 es mayor que |−5| = 5
−1 y 0	−1 < 0	Todo negativo es menor que 0
−20 y 3	−20 < 3	Todo negativo es menor que todo positivo
−7 y −7	−7 = −7	Es el mismo número

Al pasar a los opuestos, el orden se invierte#

Como 3 < 7, el 3 está a la izquierda del 7. Sus opuestos quedan del otro lado del 0 y en orden inverso: −3 > −7. En general, si a < b, entonces −a > −b. Esta idea ayuda a no equivocarse al comparar negativos.

Cómo ordenar números enteros#

Ordenar de menor a mayor es escribir los números en el orden en que aparecen en la recta numérica, de izquierda a derecha. Un método práctico: primero los negativos, del de mayor valor absoluto al de menor; después el 0, si está; y al final los positivos, del menor al mayor.

Ejemplo. Imagina que un grupo de estudiantes anota la temperatura mínima de seis madrugadas en un lugar de montaña y obtiene 2 °C, −3 °C, 0 °C, −1 °C, 4 °C y −5 °C. Ordena las temperaturas de menor a mayor. ¿Cuál fue la madrugada más fría?

Solución. Los negativos son −3, −1 y −5. Ordenados de menor a mayor: −5 < −3 < −1. Sigue el 0 y luego los positivos, 2 < 4. El orden completo es −5 < −3 < −1 < 0 < 2 < 4. La madrugada más fría fue la de −5 °C, el menor de los números.

Ejemplo. Ordena de mayor a menor: −15, 8, −27, 0, −2 y 13.

Solución. Primero los positivos, de mayor a menor: 13 y 8. Después el 0. Al final los negativos, del más cercano al 0 al más lejano: −2, −15, −27. Queda 13 > 8 > 0 > −2 > −15 > −27.

Números entre dos enteros y distancias en la recta#

La recta numérica también sirve para contar cuántos enteros hay entre dos números y qué distancia los separa.

Ejemplo. ¿Qué números enteros hay entre −4 y 3, sin contar el −4 ni el 3?

Solución. En la recta, entre −4 y 3 están −3, −2, −1, 0, 1 y 2. Son 6 números enteros.

Para hallar la distancia entre dos puntos de la recta numérica se cuentan las unidades que los separan. Si los números tienen signos distintos, se suman sus valores absolutos, porque hay que llegar hasta el 0 y seguir. Si tienen el mismo signo, se resta el valor absoluto menor del mayor.

Ejemplo. En un edificio, la planta baja es el piso 0, los sótanos son −1, −2 y −3, y los pisos de arriba son 1, 2, 3… Un ascensor sube del sótano −3 al piso 6. ¿Cuántos pisos recorre?

Solución. Los números −3 y 6 tienen signos distintos. Del −3 al 0 hay 3 pisos (|−3| = 3) y del 0 al 6 hay 6 pisos, así que recorre 3 + 6 = 9 pisos.

Ejemplo. Un buzo está a −18 m y un pelícano vuela a 7 m sobre el nivel del mar, justo encima de él. ¿Cuántos metros los separan?

Solución. Los signos son distintos: del buzo a la superficie hay 18 m y de la superficie al pelícano, 7 m. Los separan 18 + 7 = 25 metros.

Ejemplo. ¿Qué distancia hay entre −9 y −2 en la recta numérica?

Solución. Los dos son negativos, así que se restan los valores absolutos: 9 − 2 = 7. Están a 7 unidades. Se comprueba contando: −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2 son siete saltos.

Problemas con las relaciones de orden#

Ejemplo. ¿Qué números enteros cumplen −3 < x ≤ 2?

Solución. La desigualdad −3 < x deja fuera al −3, y x ≤ 2 sí incluye al 2. Los enteros que cumplen las dos condiciones son −2, −1, 0, 1 y 2: cinco números.

Ejemplo. ¿Qué número entero es mayor que −10 y menor que −8?

Solución. Entre −10 y −8 solo hay un entero: el −9. Se cumple −10 < −9 < −8.

Ejemplo. Supón que una pulpería anota sus resultados mensuales en colones: enero, 45 000; febrero, −12 000; marzo, −30 000; abril, 8 000. ¿En qué meses hubo pérdidas? ¿En cuál le fue peor?

Solución. Las pérdidas son los números negativos: febrero y marzo. El peor mes es el del número menor. Como |−30 000| > |−12 000|, se cumple −30 000 < −12 000, así que el peor mes fue marzo. El orden de los cuatro meses, de peor a mejor, es marzo (−30 000), febrero (−12 000), abril (8 000) y enero (45 000).

Un error frecuente#

Consiste en comparar los negativos como si fueran positivos y escribir −8 > −3 porque 8 > 3. La recta lo aclara: el −8 está más a la izquierda que el −3, así que −8 < −3. Deber ₡8 000 es peor que deber ₡3 000.

Ponte a prueba#

¿Cuál es mayor, −14 o −41?#

¿Cuántos números enteros hay entre −6 y 2, sin contar el −6 ni el 2?#

¿Cómo se ordenan de menor a mayor −9, 4, −13, 0 y −1?#

¿Cuántos pisos recorre un ascensor que sube del sótano −2 al piso 9, si la planta baja es el piso 0?#

¿Qué números enteros cumplen −4 ≤ x < 1?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)