Movimiento relativo y marcos de referencia

¿Está quieto un pasajero sentado en un bus? Para el chofer, sí; para una persona que espera en la parada, no: pasa frente a ella tan rápido como el bus. Las dos respuestas son correctas, porque cada una se da desde un marco de referencia distinto. En esta lección de décimo año vas a ver qué es el movimiento relativo, cómo se suman las velocidades relativas y cómo se resuelven problemas de cuerpos que se mueven cerca de la superficie terrestre.

El programa del MEP abre el tema con una situación: Carlos viaja en un auto a 60 km/h y a su lado, en la autopista, va Juan a 50 km/h. María viaja en el auto de Carlos y Pedro mira desde la acera. ¿A qué velocidad ve cada uno a los demás? Al terminar la lección podrás responderlo.

Reposo y movimiento dependen del marco de referencia#

Un cuerpo está en reposo respecto a un marco si su posición en ese marco no cambia, y en movimiento si cambia. Por eso no tiene sentido decir que algo «se mueve» sin aclarar respecto a qué. En los problemas cerca de la superficie terrestre, el marco más usado es el suelo (una calle, la acera, la orilla de un río), que se considera fijo.

Pero el suelo tampoco está quieto si se mira desde otro marco. La ficha de la Tierra de la NASA da un radio ecuatorial de 6378,137 km y un período de rotación sideral de 23,9345 h. Con esos datos, un punto del ecuador recorre 2π · 6378,137 km en 23,9345 h: gira alrededor del eje terrestre a unos 1674 km/h. La misma ficha da una velocidad orbital media de 29,78 km/s alrededor del Sol, es decir, 29,78 · 3600 ≈ 107 208 km/h. Sentado en el aula, estás en reposo respecto al aula y, a la vez, en movimiento respecto al Sol.

Eso responde a la pregunta del programa sobre por qué todo movimiento necesita un marco de referencia: la velocidad de un cuerpo no es una propiedad suya sola, sino una relación entre el cuerpo y el marco desde el que se observa.

La suma de velocidades relativas#

Para no confundirse, se indica con subíndices quién se mueve y respecto a quién: v_P/A es la velocidad de P respecto a A. La hoja de fórmulas de cinemática del programa del MEP trae esta relación:

Una forma de recordarla: los subíndices se encadenan. En P/B + B/A, la B de en medio se cancela y queda P/A.

Esta es la suma de velocidades de la física clásica, y funciona muy bien con las velocidades de la vida diaria. Con velocidades cercanas a la de la luz deja de valer, y hace falta la teoría de la relatividad especial.

Movimientos sobre la misma recta: con signos#

Si todo ocurre sobre una misma recta, se elige un sentido positivo y las velocidades se suman con su signo. En los ejemplos, T representa la acera o la carretera.

Ejemplo. Resuelve la situación del programa: Carlos va a 60 km/h y Juan a 50 km/h, en el mismo sentido; María viaja con Carlos y Pedro está en la acera. Toma como positivo el sentido de los autos.

Solución. Respecto a la acera, v_C/T = +60 km/h y v_J/T = +50 km/h: esas son las velocidades que ve Pedro. La de Juan respecto a Carlos es v_J/C = v_J/T + v_T/C = 50 + (−60) = −10 km/h: Carlos ve a Juan quedarse atrás a 10 km/h. María viaja junto con Carlos, así que v_M/C = 0: Carlos la ve en reposo. Las respuestas no son iguales, y todas son correctas en su marco.

Ejemplo. ¿Y si Juan viniera en sentido contrario, a 50 km/h?

Solución. Ahora v_J/T = −50 km/h, y v_J/C = −50 + (−60) = −110 km/h. Carlos ve que Juan se le acerca a 110 km/h: cuando dos cuerpos van en sentidos opuestos, sus rapideces se suman.

Ejemplo. Un pasajero camina hacia el frente de un bus a 1,5 m/s respecto al bus, y el bus avanza a 12 m/s respecto a la calle. ¿Qué velocidad tiene el pasajero respecto a la calle? ¿Y si camina hacia atrás?

Solución. Hacia el frente, v_P/T = v_P/bus + v_bus/T = 1,5 + 12 = 13,5 m/s. Hacia atrás, v_P/T = −1,5 + 12 = 10,5 m/s: sigue avanzando respecto a la calle, aunque dentro del bus camine hacia atrás.

Elegir el marco que simplifica el problema#

Una ventaja del movimiento relativo es que permite pasar a un marco en el que el problema se vuelve sencillo. Los datos de estos dos ejemplos son inventados, con rapideces constantes.

Ejemplo. En un tramo recto, un carro a 90 km/h adelanta a un camión que va a 72 km/h. Para terminar de adelantarlo, el carro tiene que avanzar 40 m más que el camión. ¿Cuánto tarda y cuántos metros recorre el carro respecto a la carretera?

Solución. Se pasan las velocidades a m/s dividiendo entre 3,6: 90 km/h = 25 m/s y 72 km/h = 20 m/s. Respecto al camión, el carro avanza a 25 − 20 = 5 m/s, así que tarda t = 40 m ÷ 5 m/s = 8 s. En esos 8 s, respecto a la carretera, el carro recorre 25 · 8 = 200 m y el camión, 20 · 8 = 160 m: la diferencia es de 40 m, como pedía el problema.

Ejemplo. Dos buses salen a la vez de dos paradas separadas por 18 km sobre la misma carretera y viajan uno hacia el otro, a 50 km/h y a 40 km/h. ¿Cuándo se cruzan?

Solución. Desde el primer bus, el segundo se acerca a 50 + 40 = 90 km/h y tiene que recorrer 18 km: t = 18 ÷ 90 = 0,2 h = 12 min. Respecto a la carretera, en ese tiempo el primero avanza 50 · 0,2 = 10 km y el segundo, 40 · 0,2 = 8 km. Como 10 + 8 = 18 km, los dos marcos dan el mismo resultado.

Velocidades perpendiculares: una lancha que cruza un río#

Si las velocidades no están sobre la misma recta, la fórmula sigue valiendo, pero la suma es vectorial. El caso más común es el de dos velocidades perpendiculares, que se suman con el teorema de Pitágoras.

Ejemplo. Una lancha cruza un río de 80 m de ancho. Su motor la impulsa a 4,0 m/s respecto al agua, apuntando directo a la otra orilla, y la corriente lleva el agua a 3,0 m/s río abajo. Halla la velocidad de la lancha respecto a la orilla, el tiempo que tarda en cruzar y cuánto la arrastra la corriente.

Solución. Se cumple v_L/O = v_L/A + v_A/O, donde L es la lancha, A el agua y O la orilla. Como las dos velocidades son perpendiculares, |v_L/O| = √(4,0² + 3,0²) = 5,0 m/s, desviada un ángulo θ = tan⁻¹(3,0 ÷ 4,0) ≈ 36,9° río abajo respecto a la dirección en que apunta la lancha. Para cruzar solo cuenta la velocidad perpendicular a la orilla: t = 80 m ÷ 4,0 m/s = 20 s. En ese tiempo la corriente la arrastra 3,0 · 20 = 60 m río abajo. Su desplazamiento total mide 5,0 · 20 = 100 m, igual que √(80² + 60²) = 100 m.

La corriente no cambia el tiempo de cruce, solo el punto de llegada. Para llegar justo enfrente, la lancha tendría que apuntar en diagonal hacia río arriba, y tardaría más en cruzar.

Los marcos de referencia dan la magnitud esperada#

El programa pide reconocer que los marcos de referencia, bien aplicados, dan la magnitud esperada. Tres ideas lo muestran:

• Cada observador mide una velocidad distinta, pero ninguna es falsa: Pedro ve a Carlos a 60 km/h y María lo ve en reposo. Lo importante es decir siempre respecto a qué se mide.
• La velocidad de un cuerpo respecto a otro no depende del marco que se use para calcularla. Si Carlos y Juan se describen desde un bus que va a 20 km/h en el mismo sentido, sus velocidades pasan a ser 40 km/h y 30 km/h, pero la diferencia sigue siendo de 10 km/h.
• Un problema bien resuelto da lo mismo desde dos marcos distintos, como el cruce de los buses, resuelto desde un bus y desde la carretera.

Ponte a prueba#

¿Cuánto tarda en subir una persona que camina a 0,8 m/s sobre una escalera eléctrica de 26 m que sube a 0,5 m/s?#

¿A qué velocidad se acercan dos carros que viajan uno hacia el otro a 80 km/h y a 70 km/h, y cuánto tardan en cruzarse si están a 3 km?#

¿Cómo ve caer la lluvia el pasajero de un carro que avanza a 6,0 m/s, si las gotas caen en vertical a 8,0 m/s respecto al suelo?#

¿Dónde llega una nadadora que cruza un río de 30 m de ancho nadando a 1,2 m/s hacia la otra orilla, si la corriente va a 0,5 m/s?#

¿Está en movimiento una persona sentada en un avión que vuela a 800 km/h?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de Estudio de Física, Educación Diversificada (PDF)
• NASA — Earth Fact Sheet (radio ecuatorial, período de rotación sideral y velocidad orbital media)