Suma de vectores: método gráfico y método analítico

En física, muchas magnitudes no quedan claras con un solo número: para saber a dónde llega una persona que camina 400 m hay que decir también hacia dónde camina. Esas magnitudes, como el desplazamiento, la velocidad y la fuerza, son vectores: tienen magnitud y dirección. En esta lección de décimo año vas a aprender a sumarlos con los dos métodos que pide el programa del MEP: el método gráfico, con regla, transportador y una escala, y el método analítico, con el teorema de Pitágoras y la trigonometría.

El programa propone una experiencia sencilla: dos estudiantes halan una mesa en direcciones perpendiculares. ¿Hacia dónde se moverá? ¿Con qué fuerza total? Al final de la lección podrás calcular esa fuerza resultante y su ángulo.

Cómo se describe y se dibuja un vector#

Un vector se dibuja como una flecha. Su largo, a una escala elegida, representa la magnitud (por ejemplo, 50 N o 300 m); la recta sobre la que está indica la dirección, y la punta, el sentido. La guía de la NASA sobre escalares y vectores lo resume así: un vector tiene magnitud y dirección, mientras que un escalar, como el volumen o la temperatura, solo tiene magnitud. La misma guía aclara que la rapidez es la magnitud del vector velocidad.

Para indicar la dirección se combinan el plano cartesiano y los puntos cardinales:

• El eje x positivo apunta al este y el negativo, al oeste.
• El eje y positivo apunta al norte y el negativo, al sur.
• El ángulo θ de un vector se mide desde el eje x positivo, en sentido contrario al de las agujas del reloj: el norte queda a 90°, el oeste a 180° y el sur a 270°.
• También se usan expresiones como «30° al norte del este»: se parte del este y se gira 30° hacia el norte, que es lo mismo que θ = 30°.

Para dibujar se elige una escala, por ejemplo 1 cm = 100 m o 1 cm = 10 N. Con la primera, un desplazamiento de 300 m se dibuja como una flecha de 3 cm.

Vectores consecutivos y vectores sobre la misma recta#

Dos vectores son consecutivos cuando se colocan uno a continuación del otro: el origen del segundo coincide con la punta del primero, como los tramos sucesivos de un recorrido. La resultante va del origen del primero a la punta del último.

El caso más sencillo es el de vectores sobre la misma recta (colineales):

• Si tienen el mismo sentido, la magnitud de la resultante es la suma de las magnitudes, y la resultante conserva ese sentido.
• Si tienen sentidos opuestos, la magnitud de la resultante es la diferencia de las magnitudes, y su sentido es el del vector mayor.

Ejemplo. Dos personas empujan un carro varado hacia el este, una con 300 N y otra con 250 N. ¿Cuál es la fuerza resultante? ¿Y si la segunda empujara hacia el oeste?

Solución. Con el mismo sentido, R = 300 N + 250 N = 550 N hacia el este. Con sentidos opuestos, R = 300 N − 250 N = 50 N hacia el este, el sentido de la fuerza mayor. Si se toma el eje x positivo hacia el este, el segundo caso se escribe (+300 N) + (−250 N) = +50 N: el signo indica el sentido.

En general, si dos vectores miden A y B, su resultante mide como mínimo |A − B|, cuando tienen sentidos opuestos, y como máximo A + B, cuando tienen el mismo sentido. Con cualquier otro ángulo entre ellos, la resultante queda entre esos dos valores.

El método gráfico: el polígono y el paralelogramo#

El método gráfico consiste en dibujar los vectores a escala y medir la resultante. Se siguen estos pasos (es el método del polígono, que con dos vectores forma un triángulo):

1. Elige una escala que haga caber el dibujo en la hoja.
2. Dibuja el primer vector desde un origen, con su largo a escala y su ángulo medido con el transportador.
3. Desde la punta del primero, dibuja el segundo; desde la punta del segundo, el tercero, y así sucesivamente.
4. Traza la resultante desde el origen del primer vector hasta la punta del último.
5. Mide con la regla el largo de la resultante y conviértelo con la escala; mide su ángulo con el transportador.

Ejemplo. Una estudiante sale de su casa, camina 300 m al este y luego 400 m al norte. Halla su desplazamiento con el método gráfico.

Solución. Con la escala 1 cm = 100 m se dibuja una flecha de 3 cm hacia el este y, desde su punta, una de 4 cm hacia el norte. La flecha que va del punto de partida a la punta de la segunda mide 5 cm, que a escala son 500 m, y el transportador marca unos 53° al norte del este. La estudiante caminó 300 m + 400 m = 700 m, pero su desplazamiento es de 500 m.

El método gráfico da una aproximación: si al medir se obtienen 4,9 cm, el resultado sería 490 m. Mientras más grande y cuidadoso sea el dibujo, menor es el error.

El método del paralelogramo#

Cuando dos fuerzas actúan sobre un mismo punto, como en la mesa del programa, se dibujan las dos desde el mismo origen y se completa un paralelogramo con rectas paralelas a cada una. La diagonal que sale del origen común es la resultante. Da lo mismo que el método del triángulo, porque el lado opuesto del paralelogramo es el segundo vector trasladado a la punta del primero.

El método analítico para vectores perpendiculares#

Si dos vectores son perpendiculares, al colocarlos uno a continuación del otro forman con la resultante un triángulo rectángulo: los vectores son los catetos y la resultante es la hipotenusa.

Ejemplo. Comprueba con el método analítico el desplazamiento de la estudiante que caminó 300 m al este y 400 m al norte.

Solución. R = √(300² + 400²) = √(90 000 + 160 000) = √250 000 = 500 m. El ángulo respecto al este cumple tan θ = 400 ÷ 300, así que θ = tan⁻¹(1,333…) ≈ 53,1° al norte del este. El método gráfico dio 500 m y unos 53°: los dos métodos coinciden.

Ejemplo. Dos estudiantes halan una mesa desde el mismo punto: Ana con 50 N hacia el este y Luis con 70 N hacia el norte. ¿Cuál es la fuerza resultante y qué ángulo forma con la fuerza de Ana?

Solución. Como las fuerzas son perpendiculares, R = √(50² + 70²) = √(2500 + 4900) = √7400 ≈ 86,0 N. El ángulo cumple tan θ = 70 ÷ 50 = 1,4, así que θ ≈ 54,5° al norte del este. Si la mesa empieza a deslizarse sin girar, lo hace en esa dirección, más cerca de la fuerza de Luis porque es la mayor. Observa que la resultante, 86,0 N, es menor que la suma de las magnitudes, 120 N.

El método analítico con componentes, para cualquier ángulo#

Cuando los vectores no son perpendiculares, cada uno se descompone en dos componentes: una sobre el eje x y otra sobre el eje y. Es el procedimiento de la guía de la NASA sobre la suma de vectores: se suman por separado las componentes en x y las componentes en y, y esas dos sumas definen por completo el vector resultante.

1. Calcula las componentes de cada vector.
2. Suma todas las componentes en x para obtener R_x, y todas las componentes en y para obtener R_y.
3. Calcula la magnitud con Pitágoras: R = √(R_x² + R_y²).
4. Calcula el ángulo con tan⁻¹(|R_y| ÷ |R_x|), medido desde el eje x, y ubícalo con los signos: si R_x es negativa, la resultante apunta hacia el oeste; si R_y es negativa, hacia el sur.

Ejemplo. Sobre una caja actúan dos fuerzas: F₁ = 10 N a 0° (hacia el este) y F₂ = 6,0 N a 120°. Halla la resultante.

Solución. Las componentes de F₁ son 10 N en x y 0 N en y. Las de F₂ son 6,0 · cos 120° = −3,0 N y 6,0 · sen 120° ≈ 5,20 N; la componente en x es negativa porque F₂ apunta un poco hacia el oeste. Se suman: R_x = 10 − 3,0 = 7,0 N y R_y = 0 + 5,20 = 5,20 N. La magnitud es R = √(7,0² + 5,20²) ≈ 8,72 N y el ángulo, θ = tan⁻¹(5,20 ÷ 7,0) ≈ 36,6° sobre el eje x positivo. Como advierte la guía de la NASA, la resultante no apunta como ninguna de las dos fuerzas, y su magnitud no es la suma de las magnitudes, 10 + 6,0 = 16 N.

Método	Qué se necesita	Ventaja	Límite
Gráfico	Regla, transportador y una escala	Se ve la situación y se detectan errores de dirección	La precisión depende del dibujo
Analítico (Pitágoras)	Calculadora y tan−1	Resultado exacto con dos vectores perpendiculares	Solo sirve si son perpendiculares
Analítico (componentes)	Calculadora, seno y coseno	Sirve para cualquier cantidad de vectores y de ángulos	Hay que cuidar los signos de las componentes

Los vectores en la vida diaria#

El programa propone relacionar los vectores con el trayecto de la casa al colegio y con las aplicaciones de localización. Algunos ejemplos:

• Una aplicación de mapas da instrucciones con distancia y dirección («avance 200 m y gire a la derecha»): cada tramo es un vector de desplazamiento, y su suma es el desplazamiento total.
• Un avión o una lancha avanzan según la suma de su propia velocidad y la del viento o la corriente; esa suma se estudia en el movimiento relativo.
• Cuando varias personas halan un objeto con cuerdas en direcciones distintas, el objeto responde a la fuerza resultante, no a la suma de las magnitudes.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la resultante de dos fuerzas de 120 N y 45 N sobre la misma recta, primero con el mismo sentido y luego con sentidos opuestos?#

¿Cuál es el desplazamiento de un ciclista que recorre 8,0 km hacia el norte y luego 6,0 km hacia el oeste?#

¿Cuáles son las componentes de una fuerza de 200 N que forma un ángulo de 35° con la horizontal, hacia arriba?#

¿Puede la resultante de dos vectores de 5 N y 3 N medir 9 N?#

¿Con qué largo se dibujan dos fuerzas perpendiculares de 80 N y 100 N a la escala 1 cm = 20 N, y cuánto debería medir la flecha resultante?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de Estudio de Física, Educación Diversificada (PDF)
• NASA Glenn Research Center — Scalars and Vectors
• NASA Glenn Research Center — Vector Addition