Comparar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica

¿Qué es más: 3/5 de un queque o 0,58 del mismo queque? ¿Hace más frío a −1,5 °C o a −1 ³/₄ °C? Para responder hay que comparar números racionales que vienen escritos de formas distintas: uno como fracción y otro como decimal, o uno como decimal y otro como número mixto.

En esta lección vas a aprender a decidir cuál de dos racionales es mayor, a ordenar una lista de ellos aunque estén en notaciones distintas y a ubicarlos en la recta numérica, sean positivos o negativos.

Las reglas básicas del orden#

En la recta numérica horizontal, los números crecen hacia la derecha. De ahí salen tres reglas que sirven para cualquier par de racionales:

• Todo racional positivo es mayor que cero, y todo racional negativo es menor que cero.
• Todo positivo es mayor que cualquier negativo, sin importar las cifras: 0,1 > −25.
• Entre dos negativos, es menor el que está más lejos del cero, es decir, el de mayor valor absoluto: −3/4 < −1/2, porque 3/4 es mayor que 1/2.

Con la tercera regla hay que tener cuidado. Piensa en temperaturas: −5 °C es más frío que −2 °C, así que −5 < −2. Con los racionales pasa lo mismo: −1,75 °C es más frío que −1,5 °C. Por eso, en la pregunta del inicio, hace más frío a −1 ³/₄ °C, que es −1,75 °C.

Un truco para no confundir los signos < y >: la abertura del signo queda siempre del lado del número mayor, y la punta señala al menor. Si quieres repasarlos, consulta la lección de símbolos de comparación.

Comparar números decimales#

Para comparar decimales positivos, primero se compara la parte entera. Si es igual, se comparan las décimas, después las centésimas y así sucesivamente. Ayuda mucho escribir todos los números con la misma cantidad de decimales, agregando ceros a la derecha, que no cambian el valor.

Ejemplo. Ordena de menor a mayor: 2,35; 2,4; 2,305 y 2,345.

Solución. Se escriben todos con tres decimales: 2,350; 2,400; 2,305 y 2,345. Todos tienen parte entera 2, así que basta comparar las cifras decimales como si fueran números enteros: 305 < 345 < 350 < 400. El orden es 2,305 < 2,345 < 2,35 < 2,4. Un error común es creer que 2,305 es mayor que 2,4 porque «305 es más que 4»; al completar con ceros se ve que 2,4 = 2,400.

Con decimales negativos se aplica la regla de los negativos: se comparan sus valores absolutos y el orden se invierte. Por ejemplo, 0,80 > 0,75, así que −0,8 < −0,75: el −0,8 queda más a la izquierda en la recta.

Comparar fracciones#

• Mismo denominador: es mayor la que tiene mayor numerador. 5/9 > 4/9.
• Mismo numerador (fracciones positivas): es mayor la que tiene menor denominador, porque el entero se partió en menos pedazos y cada uno es más grande. 3/5 > 3/8.
• Denominadores distintos: se amplifican las fracciones hasta un denominador común, de preferencia el mínimo común múltiplo, y se comparan los numeradores.

Ejemplo. Compara 5/6 y 7/9.

Solución. El mínimo común múltiplo de 6 y 9 es 18. Se amplifica: 5/6 = 15/18 y 7/9 = 14/18. Como 15 > 14, resulta 5/6 > 7/9.

Otra forma rápida, con denominadores positivos, es multiplicar en cruz: para comparar a/b con c/d se comparan a · d y c · b. En el ejemplo anterior, 5 · 9 = 45 y 7 · 6 = 42; como 45 > 42, 5/6 > 7/9.

Ejemplo. Compara −2/3 y −5/8.

Solución. El mínimo común múltiplo de 3 y 8 es 24: −2/3 = −16/24 y −5/8 = −15/24. Son negativos, y −16/24 está más lejos del cero que −15/24, así que −2/3 < −5/8. En decimales se ve igual: −0,666… queda a la izquierda de −0,625.

Ordenar números escritos en notaciones distintas#

Cuando la lista mezcla decimales, fracciones y números mixtos, lo más seguro es pasar todos a la misma notación. Casi siempre conviene el decimal, porque se compara cifra por cifra. Con los números mixtos positivos también se puede comparar primero la parte entera y, si es igual, la parte fraccionaria.

Ejemplo. Ordena de menor a mayor: 1,6; 1 ²/₃; 8/5; 1,65; −1 ¹/₂; −1,45.

Solución. En decimales: 1 ²/₃ = 1,666…; 8/5 = 1,6; −1 ¹/₂ = −1,5. Primero van los negativos: −1,5 está más lejos del cero que −1,45, así que −1 ¹/₂ < −1,45. Entre los positivos, 1,6 y 8/5 son el mismo número. El orden queda: −1 ¹/₂ < −1,45 < 1,6 = 8/5 < 1,65 < 1 ²/₃.

Ejemplo. En una prueba de salto largo del colegio, Ana saltó 3 ³/₄ m, Luis 3,8 m y Sofía 37/10 m. ¿Quién saltó más y quién menos?

Solución. En decimales: 3 ³/₄ = 3,75 y 37/10 = 3,7. Al comparar, 3,70 < 3,75 < 3,80, así que Luis saltó más (3,8 m) y Sofía saltó menos (3,7 m).

Volviendo a la pregunta del inicio: 3/5 = 0,60 y 0,60 > 0,58, así que 3/5 del queque es un poco más que 0,58 del queque.

Ubicar números racionales en la recta numérica#

Para ubicar un racional en la recta numérica conviene usar la representación que lo haga más fácil. Si necesitas repasar cómo se construye la recta, mira la lección de ubicación en la recta numérica. El procedimiento general es este:

1. Busca entre qué dos enteros consecutivos está el número. Pasarlo a número mixto o a decimal ayuda.
2. Divide el segmento entre esos dos enteros en tantas partes iguales como indique el denominador (o en 10 partes si trabajas con décimas).
3. Cuenta las partes a partir del entero más cercano al cero: hacia la derecha si el número es positivo y hacia la izquierda si es negativo.

Ejemplo. Ubica 11/4 en la recta numérica.

Solución. 11/4 = 2 ³/₄ = 2,75, así que está entre 2 y 3. Se divide el segmento de 2 a 3 en cuatro partes iguales y se cuentan tres partes a partir del 2. Las marcas de ese segmento quedan así:

Marca	Como número mixto	Como fracción	Como decimal
Inicio	2	8/4	2
1.ª	2 1/4	9/4	2,25
2.ª	2 1/2	10/4	2,5
3.ª	2 3/4	11/4	2,75
Final	3	12/4	3

Ejemplo. Ubica −2/3 y −1,3 en la recta numérica.

Solución. −2/3 está entre −1 y 0. Se divide ese segmento en tres partes iguales y, desde el 0, se cuentan dos partes hacia la izquierda. El número −1,3 está entre −2 y −1: se divide ese segmento en diez partes (décimas) y, desde el −1, se cuentan tres partes hacia la izquierda.

Si el número tiene una expansión decimal periódica, es más fácil ubicarlo con su fracción. Por ejemplo, 0,444… = 4/9: se divide el segmento de 0 a 1 en nueve partes y se toma la cuarta marca.

Entre dos racionales siempre hay otro#

A diferencia de los enteros, entre dos racionales distintos siempre se puede encontrar otro racional. Una forma de hallarlo es calcular el promedio de los dos. Entre 1/2 y 3/4 está, por ejemplo, (1/2 + 3/4) ÷ 2 = 5/8 = 0,625. Por eso, entre dos racionales distintos hay infinitos racionales, por cerca que estén uno del otro.

Ponte a prueba#

¿Cuál es mayor, −0,7 o −3/4?#

¿Cómo se ordenan de menor a mayor 2/3, 0,6 y 5/8?#

¿Entre qué enteros consecutivos está −13/4 y cómo se ubica en la recta numérica?#

¿Es cierto que 2 ⅕ es igual a 2,2 y mayor que 21/10?#

¿Qué número racional está exactamente a la mitad entre 1/3 y 1/2?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)