Relaciones y Álgebra

Dentro de la matemática, tanto el álgebra como las relaciones, poseen una relación muy estrecha e intrínseca. Mientras que el álgebra puede proporcionar técnicas y herramientas para analizar y representar relaciones existentes entre las cantidades. Las relaciones representan al objeto de estudio del álgebra.

Se podría describir a la relación, como aquello que conecta los elementos matemáticos de uno o varios conjuntos. Uno de los ejemplos más comunes es el del par ordenado (x, y), donde “x” forma parte de un conjunto y la “y” pertenece a otro conjunto.

En términos simples, la conjunción entre las relaciones y el álgebra lo que busca es generar una fácil comprensión de los patrones matemáticos. De esta manera empezar a leer y escribir (manipular) los símbolos básicos en las operaciones e identificar su ubicación dentro de la recta numérica.

Tipos de Relaciones#

Las relaciones algebraicas se pueden clasificar de acuerdo a sus distintas propiedades. Adicionalmente existen gran variedad de tipos, sin embargo, les presentamos a continuación las principales:

• Relación Vacía: Indica que ningún elemento, perteneciente a un conjunto tiene relación con otro, ni consigo mismo.
• Relación Universal: En este se indica que todos los elementos pertenecientes a un conjunto poseen relación con los demás elementos del mismo conjunto o con otros elementos.
• Relación Reflexiva: Cada uno de los elementos del conjunto se relaciona consigo mismo. No hace falta que además se relacione con los demás.
• Relación Transitiva: Si un elemento se relaciona con un segundo y ese segundo se relaciona con un tercero, entonces el primero se relaciona también con el tercero.
• Relación de Identidad: Indica que cada uno de los elementos que pertenecen a un conjunto se relaciona consigo mismo y con ningún otro.
• Relación de Equivalencia: Este tipo de relación es la que cumple las tres propiedades a la vez: reflexiva, simétrica y transitiva.
• Relación Simétrica: Hace referencia a que, si un elemento se relaciona con otro, entonces este se relaciona con el primero.
• Relación Antisimétrica: Se dice que dos elementos son iguales si, el primero se relaciona con el segundo y viceversa.
• Relación Inversa: Se obtiene al invertir las parejas reunidas u ordenadas de una relación original.

Combinaciones de Propiedades#

Cuando las relaciones satisfacen algunas combinaciones de sus propiedades (anteriormente nombradas), se les puede otorgar nombres propios:

• Orden Parcial: Obedece aquellas relaciones que son reflexivas, transitivas y antisimétricas.
• Orden Total: Pueden ser relaciones antisimétricas, transitivas, conexas y reflexivas.
• Orden Parcial Estricto: Se identifican con las irreflexivas, transitivas y asimétricas.
• Orden Total Estricto: Son aquellas que son antisimétricas, conexas, transitivas y irreflexiva.

Representaciones de una Relación#

Las diferentes relaciones pueden ser representadas de diferentes maneras como las siguientes:

• Tablas: Son usadas para demostrar la relación entre los elementos de dos conjuntos. Cada una de sus filas puede representar un par ordenado.
• Pares Ordenados: Expresan pares como (x, y), en donde la “x” se encuentra en un conjunto de partida y la “y” a uno de llegada.
• Matrices: Dentro del algebra lineal, se usan las matrices como modo de representación de las relaciones binarias, como en conjuntos finitos.
• Diagramas de Flechas: Se usan flechas dentro de los conjuntos de elementos, para poder visualizar la correspondencia existente entre ellos.
• Gráficas: Por medio de las coordenadas cartesianas, una relación se puede ver representada entre un conjunto de puntos o como una curva.

Teoremas de las Relaciones#

Dentro de las relaciones se pueden dar pautas que al cumplirse a cabalidad se pueden definir como teoremas. Ya que estos son las afirmaciones que pueden ser demostrados a través del razonamiento matemático, lógico o deductivo.

• Cuando una relación es reflexiva debe si o si ser su complemento irreflexivo.
• Una relación es asimétrica solo si es irreflexiva y antisimétrica.
• Una relación es simétrica si y solo si coincide con su relación inversa.
• Se considera una relación transitiva e irreflexiva solo si es asimétrica.
• Una relación es conexa si y solo si su complemento es antisimétrico.
• Si una relación es fuertemente conexa, también debe ser reflexiva y conexa.
• Una relación es fuertemente conexa si y solo si su complemento es asimétrico.
• Si una relación tiene alguna de estas propiedades —irreflexiva, reflexiva, asimétrica, simétrica, antisimétrica, conexa, transitiva o fuertemente conexa—, su recíproca la tiene también.
• Si por ejemplo tenemos una relación R y esta esta contenida en una relación S, estas deben:
  • Si R es: fuertemente conexa, reflexiva o conexa, en total por la derecha o izquierda, entonces la relación S también lo es.
  • Si S es: asimétrica, irreflexiva y antisimétrica, única por derecha e izquierda, entonces R también lo es.

Importancia de las Relaciones#

Dentro del álgebra, la importancia de las relaciones radica en la capacidad para poder moldear las conexiones entre los diferentes conjuntos y elementos. Estas relaciones permiten resolver los diferentes problemas matemáticos aplicados a diferentes áreas. La informática, la economía, la ingeniería y la física, son solo algunos ejemplos de áreas que utilizan deferentes tipos de relaciones.

En esencia una relación se puede describir como la conexión que existe entre dos o más objetos, que a menudo se representan como pares ordenados. En resumen, cada elemento de un conjunto denominado dominio, le corresponde igualmente otro elemento de otro conjunto denominado rango.

Ponte a prueba#

¿En qué se diferencia una relación reflexiva de una relación de identidad?#

¿Cómo se comprueba que una relación es transitiva?#

¿Qué tres propiedades debe cumplir una relación de equivalencia?#

¿De cuántas maneras se puede representar una relación?#