Representar Relaciones entre Cantidades Variables

Q: ¿Cuáles son las tres maneras de representar una relación entre variables?

La tabla de valores, que empareja cada x con su y —por ejemplo (2 kg, ₡100) y (3 kg, ₡150)—; la gráfica en ejes cartesianos, que convierte cada pareja en un punto; y la ecuación algebraica, que resume la relación en una fórmula, como y = 50x. Las tres dicen lo mismo con lenguajes distintos.

Q: ¿Cómo se distingue una proporcionalidad directa de una inversa?

En la directa las dos cantidades suben juntas y se mantiene constante el cociente: si 2 kg de carne cuestan ₡100 y 3 kg cuestan ₡150, se cumple 100 ÷ 2 = 150 ÷ 3 = 50. En la inversa, cuando una sube la otra baja y lo constante es el producto: para recorrer 120 km, a 60 km/h se tardan 2 h y a 120 km/h una sola, porque 60 × 2 = 120 × 1 = 120.

Q: ¿Por qué la gráfica de una proporcionalidad inversa nunca toca los ejes?

Porque en y = k/x ni la x ni la y pueden valer cero. La x no puede ser 0 porque no se puede dividir entre cero, y la y tampoco, porque una división entre un número, por grande que sea, nunca da exactamente 0. Por eso la curva —una hipérbola— se acerca a los ejes cada vez más sin llegar a tocarlos: son sus asíntotas.

Q: ¿Qué diferencia hay entre y = kx e y = kx + b?

El término b. Con y = kx la recta pasa por el origen (0, 0) y hay proporcionalidad directa. Con y = kx + b la recta sigue siendo recta, pero corta el eje y en el punto b: al hacer x = 0 queda y = b, no 0. Por eso es una variación lineal, pero ya no una proporcionalidad directa.

Esta lección es parte de Temario Matemáticas de Escuela del I y II ciclo Lección 118 de 128

Por Nades Ariana actualizado el agosto 31, 2026 6 min de lectura 378 lecturas

Para poder representar relaciones entre cantidades variables es necesario que se conozcan a fondo los conceptos que las componen. Se puede definir a las cantidades variables como aquellas que pueden tomar distintos valores o cambiarlos según la situación.

Definición

Dos cantidades variables están relacionadas cuando el cambio de una afecta a la otra. Esa relación se puede representar de tres maneras: con una tabla de valores, con una gráfica en ejes cartesianos o con una ecuación algebraica. Y suele ser de tres tipos: directa (y = kx), inversa (x·y = k) o compuesta, cuando se combinan las dos.

A diferencia de las cantidades constantes cuyas cantidades siempre son fijas, las variables pueden cambiar según la necesidad. En cuanto a las relaciones entre las cantidades variables se describen como todo aquel cambio en una magnitud, lo que llega a afectar a otra.

Entendiendo los anteriores conceptos se puede entender que para representar relaciones entre cantidades variables se tienen tres opciones. La primera de ellas son las tablas de valores, la segunda son los gráficos en sistemas y por ultimo las ecuaciones algebraicas.

Esquema de cantidades variables frente a cantidades constantes — Cortesía de Wikipedia

Características claves de las Cantidades Variables#

En campos como la estadística o la matemática nos indica que en ocasiones las cantidades variables pueden ser representadas por medio de letras. También dichas cantidades pueden ser dependientes (efecto) o independientes (causa). Algunas de las características más importantes en este tipo de cantidades son las siguientes:

Ejemplos de la Cotidianidad.
- El cambio de la temperatura durante el paso del día.
- La cantidad total de las personas en un bus durante una carrera.
- La altura y el peso de las personas durante el paso de los años.
Matemáticas.
- Dependiente: Se refiere a la cantidad que cambia según el resultado de la cantidad independiente. Por ejemplo, el costo total de un objeto.
- Independiente: Es aquella cantidad que puede cambiar por si misma o de forma controlada. Por ejemplo, los metros de cable.
Cambio.
- Hace referencia a que su valor puede cambiar de un momento a otro, por lo tanto, no es considerado como un valor fijo.
Estadística.
- Son aquellas características que pueden tener distintos resultados mientras son medidos. Por ejemplo, las calificaciones, la edad o los ingresos.

Diagrama que distingue la variable independiente, que se manipula, de la dependiente, que responde — Cortesía de Wikipedia

Tipos de Relaciones entre Cantidades Variables#

Cuando una magnitud puede afectar a otra cantidad, se le describe como la relación que existe entre las cantidades variables. En la ciencia y la matemática se pueden clasificar generalmente en tres tipos.

Proporcionalidad Directa: También conocida como la Variación Directa, la cual ocurre cuando se acumula una cantidad, mientras que la otra cantidad se acumula en igual proporción. En resumen, si una cantidad aumenta la otra lo hace de igual manera.
- Ejemplo: Entre mayor sea la cantidad de kilos de carne comprados, mayor será el precio que se pague por ellos.
- Ecuación: y= kx (en este caso la “k” representa a la constante de proporcionalidad.
- Gráfica: Es representado dentro de una grafica como una recta que pasa por el punto de origen (0, 0).
Proporcionalidad Inversa: Conocidas como Variación Inversa. Este tipo se presenta cuando al aumentar una cantidad, la otra disminuye de manera proporcional en consecuencia.
- Ecuación: Se puede representar como y= k/x o también xy= k.
- Ejemplo: Cuanto mayor sea la velocidad de un vehículo, menor será el tiempo que se necesitara para recorrer un trayecto trazado.
- Gráficas: En su representación gráfica se observa una curva (hipérbola) que por ningún motivo toca los ejes.
Variación Conjunta y Compuesta.
- Compuesta: En este tipo de cantidades se combinan las inversas con las directas de manera simultánea. Un ejemplo es la fuerza de gravedad, la cual es proporcional a la masa del cuerpo, pero inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
- Conjunta: Se presenta cuando el resultado de la variable depende de al menos dos o más variables adicionales. Por ejemplo, al calcular el área del rectángulo, esta depende del valor de la base y de la altura.

Representación de la relación entre dos cantidades variables mediante tabla, gráfica y ecuación — Cortesía de Wikipedia

Métodos de la Representación#

Tablas de Valores: En esta tabla se presentan datos como “x”, “y”, los cuales representan a la relación. Esto facilita la observación de los valores que corresponden.
- Ejemplo: Si asignamos a una cantidad “x” de kilos de carnes y su valor “y” dentro de una tabla se indicaría como (2kg, $100), (3kg, $150).
- Gráficos: También llamados “Ejes Cartesianos”.
  - Grafico de línea: En ellos una línea se encarga de conectar puntos.
  - Diagrama de Dispersión: Muestra la relación (dispersión) y la tendencia que presentan los datos según puntos dentro de la gráfica.
  - Ejemplo: Al graficar el costo del kilogramo de cebollas en un año, lo cual se representa por medio de una línea continua.
- Ecuaciones Algebraicas: Dan una visión de la relación de las cantidades variables por medio de una fórmula matemática.
  - Variación Lineal: Es la más utilizada y se desarrolla con la ecuación y = kx + b (el valor de “b” corresponde al punto de corte).
  - Proporción Directa: Es representado por la ecuación y = kx.

Gráfico de dispersión con los puntos que relacionan dos variables — Cortesía de Wikipedia

En conclusión, representar relaciones entre cantidades variables permite comprender como las cosas pueden cambiar de manera constante y en conjunto. De esta manera permite modelar fenómenos y hacer predicciones para de esta manera resolver problemas.

Adicionalmente es gracias a los gráficos, ecuaciones y tablas que se pueden fundamentar las cantidades dependientes e independientes. Lo que es un punto clave para la planificación, la investigación, la programación y la toma de decisiones.

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¿Cuáles son las tres maneras de representar una relación entre variables?#

La tabla de valores, que empareja cada x con su y —por ejemplo (2 kg, ₡100) y (3 kg, ₡150)—; la gráfica en ejes cartesianos, que convierte cada pareja en un punto; y la ecuación algebraica, que resume la relación en una fórmula, como y = 50x. Las tres dicen lo mismo con lenguajes distintos.

¿Cómo se distingue una proporcionalidad directa de una inversa?#

En la directa las dos cantidades suben juntas y se mantiene constante el cociente: si 2 kg de carne cuestan ₡100 y 3 kg cuestan ₡150, se cumple 100 ÷ 2 = 150 ÷ 3 = 50. En la inversa, cuando una sube la otra baja y lo constante es el producto: para recorrer 120 km, a 60 km/h se tardan 2 h y a 120 km/h una sola, porque 60 × 2 = 120 × 1 = 120.

¿Por qué la gráfica de una proporcionalidad inversa nunca toca los ejes?#

Porque en y = k/x ni la x ni la y pueden valer cero. La x no puede ser 0 porque no se puede dividir entre cero, y la y tampoco, porque una división entre un número, por grande que sea, nunca da exactamente 0. Por eso la curva —una hipérbola— se acerca a los ejes cada vez más sin llegar a tocarlos: son sus asíntotas.

¿Qué diferencia hay entre y = kx e y = kx + b?#

El término b. Con y = kx la recta pasa por el origen (0, 0) y hay proporcionalidad directa. Con y = kx + b la recta sigue siendo recta, pero corta el eje y en el punto b: al hacer x = 0 queda y = b, no 0. Por eso es una variación lineal, pero ya no una proporcionalidad directa.

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