En la ermita del barrio van a poner un vitral nuevo. El diseño no es un solo rectángulo: es de esas figuras compuestas, una ventana en forma de casita, con un cuadro abajo y un techo triangular arriba. Para pedir el vidrio y el marco, el vidriero necesita saber cuánta superficie cubre y cuánto mide su borde.
Una figura así se llama figura compuesta. Para calcularla hay que ver qué figuras sencillas la forman y usar la fórmula de cada una.
Recuerda
Una figura compuesta está formada por dos o más figuras simples (triángulos, cuadrados, rectángulos, paralelogramos o trapecios) pegadas por sus lados. Su área se halla sumando o restando las áreas de las partes. Su perímetro es solo la longitud del contorno exterior: los lados que quedan pegados no cuentan.
Primero, partir la figura en piezas conocidas#
El primer paso es mirar con calma y trazar líneas que partan la figura en piezas conocidas. No hay una sola manera de hacerlo: una misma figura se puede partir de varias formas, y todas dan el mismo resultado si las cuentas están bien.
- Dibuja la figura y marca todas las medidas que da el problema.
- Traza líneas de corte hasta ver rectángulos, triángulos y otras figuras conocidas.
- Halla las medidas que falten de cada pieza (a veces se obtienen restando).
- Calcula el área de cada pieza con su fórmula y suma o resta según corresponda.
- Para el perímetro, suma solo los lados del contorno exterior.
Recuerda las fórmulas que vas a usar. Si necesitas repasarlas, mira la lección de multiplicación para las cuentas con medidas.
| Figura | Área |
|---|---|
| Cuadrado de lado l | l · l |
| Rectángulo de base b y altura h | b · h |
| Paralelogramo de base b y altura h | b · h |
| Triángulo de base b y altura h | (b · h) : 2 |
| Trapecio de bases B y b y altura h | ((B + b) · h) : 2 |
La ventana en forma de casita#
Ejemplo. La ventana tiene abajo un rectángulo de 60 cm de ancho por 80 cm de alto. Encima lleva un triángulo isósceles: su base es el ancho de la ventana (60 cm), su altura mide 40 cm y cada uno de sus dos lados iguales mide 50 cm. Halla el área del vidrio y la longitud del marco que rodea la ventana.
Solución. Área del rectángulo: 60 · 80 = 4800 cm². Área del triángulo: (60 · 40) : 2 = 1200 cm². Área total: 4800 + 1200 = 6000 cm². Para el marco se suma el contorno exterior: 60 (base) + 80 + 80 (lados) + 50 + 50 (lados del techo) = 320 cm. La base del triángulo no cuenta, porque queda dentro de la figura. Los datos cierran: la altura divide la base en 30 + 30 y 30² + 40² = 50².
Sumar o restar: la pieza en forma de L#
Algunas figuras se arman quitando un pedazo a una figura más grande. Es lo que pasa con un vidrio en forma de L: se imagina el rectángulo completo y se le resta el rincón que falta.
Ejemplo. Un vidrio en forma de L cabe dentro de un rectángulo de 90 cm por 60 cm, al que le falta un rincón rectangular de 40 cm por 30 cm. Halla su área y su perímetro.
Solución. Área: 90 · 60 = 5400 cm² del rectángulo completo, menos 40 · 30 = 1200 cm² del rincón: 5400 − 1200 = 4200 cm². Perímetro: sorprende, pero es igual al del rectángulo completo, 2 · (90 + 60) = 300 cm. Al quitar el rincón, los lados nuevos que aparecen suman lo mismo que los lados que se pierden (40 + 30 = 70 cm).
Esa observación sirve siempre que el rincón que se quita está en una esquina y es rectangular: el perímetro no cambia, aunque el área sí.
El mismo resultado, de otra forma#
También se puede partir la L en dos rectángulos: uno de 90 cm por 30 cm (la parte baja) y otro de 50 cm por 30 cm (la parte alta que sobra). Entonces 90 · 30 + 50 · 30 = 2700 + 1500 = 4200 cm². Sale lo mismo, así que la cuenta es correcta.
Un trapecio armado con dos piezas#
Ejemplo. El remate del vitral es un rectángulo de 30 cm de base por 20 cm de alto, con un triángulo rectángulo pegado a su lado derecho de 20 cm. El triángulo tiene catetos de 15 cm (a lo largo de la base) y 20 cm, y su hipotenusa mide 25 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura completa.
Solución. La figura es un trapecio cuya base inferior mide 30 + 15 = 45 cm. Perímetro: 45 (base inferior) + 25 (lado inclinado) + 30 (arriba) + 20 (lado izquierdo) = 120 cm. Área: rectángulo 30 · 20 = 600 cm²; triángulo (15 · 20) : 2 = 150 cm²; total 750 cm². Se comprueba con la fórmula del trapecio: ((45 + 30) · 20) : 2 = 750 cm².
Vidrio de colores y vidrio transparente#
Ejemplo. Otra ventana del vitral es un rectángulo de 120 cm por 90 cm. En cada una de sus cuatro esquinas lleva un triángulo rectángulo de vidrio rojo, con catetos de 30 cm y 40 cm. El resto es vidrio transparente. ¿Cuánto vidrio transparente se necesita? ¿Cuánto mide el borde de uno de los triángulos rojos?
Solución. Área de la ventana: 120 · 90 = 10 800 cm². Área de un triángulo rojo: (30 · 40) : 2 = 600 cm², y los cuatro suman 2400 cm². Vidrio transparente: 10 800 − 2400 = 8400 cm². Cada triángulo tiene hipotenusa 50 cm (30² + 40² = 50²), así que su borde mide 30 + 40 + 50 = 120 cm.
Ponte a prueba#
¿Cuál es el área y el perímetro de un patio en forma de L que sale de un rectángulo de 14 m por 10 m al que se le quita una esquina de 6 m por 4 m?#
El área es 14 · 10 = 140 m² menos el rincón 6 · 4 = 24 m², es decir, 116 m². El perímetro es el del rectángulo completo, porque el rincón está en una esquina: 2 · (14 + 10) = 48 m. Las medidas de la esquina cambian el área, pero no el perímetro.
¿Qué área y qué perímetro tiene una figura formada por un rectángulo de 48 cm por 30 cm y, encima, un triángulo de base 48 cm, altura 7 cm y lados iguales de 25 cm?#
Área: 48 · 30 = 1440 cm² del rectángulo más (48 · 7) : 2 = 168 cm² del triángulo, o sea 1608 cm². Perímetro: 48 + 30 + 30 + 25 + 25 = 158 cm; la base del triángulo queda dentro y no se cuenta. Los datos cierran porque 24² + 7² = 25².
¿Cuál es el área de una figura compuesta por un rectángulo de 12 cm por 5 cm pegado a un paralelogramo de 8 cm de base y 5 cm de altura?#
El rectángulo tiene 12 · 5 = 60 cm². El paralelogramo, base por altura: 8 · 5 = 40 cm². La figura completa mide 60 + 40 = 100 cm². Se suman porque las dos piezas están pegadas y no se encima ninguna.
¿Cuál es el área y el perímetro de un cuadrado de 20 cm de lado al que se le corta una esquina con un triángulo rectángulo de catetos 12 cm y 9 cm (hipotenusa 15 cm)?#
Área: 20 · 20 = 400 cm² menos (12 · 9) : 2 = 54 cm², o sea 346 cm². Perímetro: los dos lados que no tocan el corte siguen midiendo 20 y 20; los otros dos quedan en 20 − 12 = 8 y 20 − 9 = 11; y se agrega la hipotenusa de 15. Total: 20 + 20 + 8 + 11 + 15 = 74 cm.
¿Por qué al quitarle a un rectángulo un rincón rectangular de una esquina el perímetro no cambia?#
Porque los dos lados nuevos que aparecen en el contorno miden exactamente lo mismo que los dos tramos de lado que se quitaron: uno es paralelo y de igual largo que el tramo horizontal, y el otro que el tramo vertical. El contorno sigue siendo tan largo como el del rectángulo completo. El área, en cambio, sí disminuye, porque se pierde la superficie del rincón.
Fuentes#
También en Matemáticas 5ºQuinto grado