Doña Lidia cose una colcha con retazos de tela. Cada retazo tiene una forma distinta: uno es cuadrado, otro rectangular, otro es un paralelogramo y otros son triángulos. Para coserlos necesita dos datos de cada pieza: cuánta cinta lleva en el borde (el perímetro) y cuánta tela tiene por dentro (el área).
Esos dos datos se calculan con fórmulas. El borde es el perímetro y lo de adentro es el área. Hay fórmulas para cinco figuras: el cuadrado, el rectángulo, el paralelogramo, el triángulo y el trapecio.
Definición
El perímetro es lo que mide el contorno de una figura: se suman las longitudes de todos sus lados y se escribe en cm, m o km. El área es la medida de la superficie que ocupa, es decir, cuántos cuadrados de una unidad caben dentro de ella, y se escribe en cm², m², km².
El borde y lo de adentro no se miden igual#
Si doña Lidia quiere pegar una cinta alrededor de un retazo, mide una línea: el recorrido completo del borde. Si quiere saber cuánta tela hay, mide una superficie: cuántos cuadritos de 1 cm de lado cubren el retazo.
Por eso las unidades son distintas. Un borde de 60 cm se escribe «60 cm». Una superficie de 225 cuadritos de 1 cm de lado se escribe «225 cm²». Si mezclas las dos, la respuesta queda mal escrita.
| Medida | Qué mide | Unidad de ejemplo |
|---|---|---|
| Perímetro | El contorno (cinta, cerca, marco) | cm, m |
| Área | La superficie (tela, piso, pintura) | cm², m² |
Cuadrados y rectángulos#
El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales. El rectángulo tiene lados opuestos iguales: la base (b) y la altura (h). Sus fórmulas son:
| Figura | Perímetro | Área |
|---|---|---|
| Cuadrado de lado l | P = 4 · l | A = l · l |
| Rectángulo de base b y altura h | P = 2 · (b + h) | A = b · h |
Ejemplo. Un retazo cuadrado mide 15 cm de lado. ¿Cuánta cinta lleva su borde y cuánta tela tiene?
Solución. Perímetro: 4 · 15 = 60 cm de cinta. Área: 15 · 15 = 225 cm² de tela.
Ejemplo. Otro retazo es un rectángulo de 24 cm de base y 10 cm de altura. Calcula su perímetro y su área.
Solución. Perímetro: 2 · (24 + 10) = 2 · 34 = 68 cm. Área: 24 · 10 = 240 cm².
Fíjate en algo curioso: el rectángulo de 240 cm² necesita más cinta (68 cm) que el cuadrado de 225 cm² (60 cm). Dos figuras con áreas parecidas pueden tener perímetros muy distintos.
El paralelogramo y su altura#
Un paralelogramo tiene dos pares de lados paralelos. Parece un rectángulo «inclinado». Su perímetro se obtiene sumando sus cuatro lados, que son iguales de dos en dos: P = 2 · (b + a), donde a es el lado inclinado.
Para el área no se usa el lado inclinado, sino la altura: la distancia perpendicular entre la base y el lado paralelo a ella. Si cortas un triángulo de un extremo y lo pegas en el otro, el paralelogramo se vuelve un rectángulo con la misma base y la misma altura. Por eso:
Fórmula
A = b · h
Aquí b es la base y h la altura, medida en ángulo recto con la base. El lado inclinado nunca es la altura.
Ejemplo. Un retazo en forma de paralelogramo tiene 18 cm de base, 12 cm de altura y su lado inclinado mide 13 cm. Halla su perímetro y su área.
Solución. Perímetro: 2 · (18 + 13) = 62 cm. Área: 18 · 12 = 216 cm². Observa que el lado inclinado (13 cm) es mayor que la altura (12 cm), como debe ser.
El triángulo: la mitad de un rectángulo#
Un triángulo cabe dentro de un rectángulo con la misma base y la misma altura, y ocupa justo la mitad. De ahí sale su fórmula. El perímetro, como siempre, es la suma de los tres lados.
Fórmula
A = (b · h) : 2
La altura h cae en ángulo recto sobre la base b.
Ejemplo. Un retazo triangular tiene una base de 21 cm y una altura de 8 cm sobre esa base. Sus otros dos lados miden 10 cm y 17 cm. Calcula su perímetro y su área.
Solución. Perímetro: 21 + 10 + 17 = 48 cm. Área: (21 · 8) : 2 = 168 : 2 = 84 cm². Los datos son compatibles: la altura divide la base en 6 cm y 15 cm, y se cumple 6² + 8² = 10² y 15² + 8² = 17².
El trapecio y sus dos bases#
El trapecio tiene un par de lados paralelos, llamados bases: la base mayor (B) y la base menor (b). La altura (h) es la distancia perpendicular entre ellas. Su área es la de un rectángulo cuyo ancho es el promedio de las dos bases.
Fórmula
A = ((B + b) · h) : 2
Se suman las dos bases, se multiplica por la altura y se divide entre 2.
Ejemplo. Un retazo es un trapecio con ángulos rectos en un lado. Sus bases miden 20 cm y 11 cm, la altura mide 12 cm y el lado inclinado mide 15 cm. Halla las dos medidas.
Solución. Perímetro: 20 + 11 + 12 + 15 = 58 cm. Área: ((20 + 11) · 12) : 2 = 372 : 2 = 186 cm². Los datos cierran: la diferencia entre las bases es 9 cm y 9² + 12² = 15².
Un problema completo: la colcha entera#
Ejemplo. La colcha de doña Lidia es un rectángulo de 150 cm por 120 cm. Se arma con retazos cuadrados de 15 cm de lado, sin huecos. ¿Cuántos retazos lleva y cuántos centímetros de cinta hacen falta para bordearla?
Solución. Caben 150 : 15 = 10 retazos a lo largo y 120 : 15 = 8 a lo ancho, o sea 10 · 8 = 80 retazos. Comprobación con áreas: 150 · 120 = 18 000 cm² y 18 000 : 225 = 80. La cinta del borde mide 2 · (150 + 120) = 540 cm.
Antes de responder, revisa dos cosas: la unidad (cm para el borde, cm² para la tela) y si la cifra es razonable. Si el área de un retazo te da mayor que la de toda la colcha, hay un error.
Ponte a prueba#
¿Cuál es el área de un retazo cuadrado cuyo borde mide 48 cm?#
Un cuadrado tiene cuatro lados iguales, así que su lado es 48 : 4 = 12 cm. Su área es 12 · 12 = 144 cm². Primero se halla el lado con el perímetro y luego se usa la fórmula del área.
¿Qué área tiene un paralelogramo con base de 25 cm y altura de 9 cm?#
Se usa A = b · h, con la altura medida en ángulo recto con la base: 25 · 9 = 225 cm². Si el problema diera también el lado inclinado, no se usaría para el área, solo para el perímetro.
¿Cuál es el área de un triángulo de 30 cm de base y 14 cm de altura?#
Un triángulo ocupa la mitad del rectángulo con su misma base y altura. El rectángulo mide 30 · 14 = 420 cm², y la mitad es 420 : 2 = 210 cm². La respuesta es 210 cm².
¿Cuál es el área de un trapecio con bases de 18 cm y 10 cm y altura de 7 cm?#
Se suman las bases: 18 + 10 = 28. Se multiplica por la altura: 28 · 7 = 196. Se divide entre 2: 196 : 2 = 98. El área es 98 cm².
¿Cuántos retazos cuadrados de 20 cm de lado cubren un mantel rectangular de 160 cm por 100 cm, y cuánto mide su borde?#
A lo largo caben 160 : 20 = 8 retazos y a lo ancho 100 : 20 = 5, así que se necesitan 8 · 5 = 40 retazos. El borde mide 2 · (160 + 100) = 520 cm. El área total, 16 000 cm², dividida entre los 400 cm² de cada retazo también da 40.
Fuentes#
También en Matemáticas 5ºQuinto grado