La escuela organiza un bazar en el gimnasio. Hay que repartir los puestos, rodearlos con cinta para que nadie se tropiece, forrar una mesa y colgar banderines. Cada decisión es uno de los problemas de perímetro y área: a veces pide un perímetro y a veces un área.
Lo primero es decidir cuál de las dos medidas hace falta.
Recuerda
Para resolver un problema de figuras, primero se decide qué hay que medir. Si se trata de rodear algo (cinta, cerca, marco), se necesita el perímetro. Si se trata de cubrir algo (tela, piso, pintura), se necesita el área.
Un método de cuatro pasos#
- Lee y subraya los datos. Pregúntate qué se pide.
- Decide si el problema habla de un borde (perímetro) o de una superficie (área).
- Calcula con la fórmula que corresponde, escribiendo la unidad: cm, m, cm², m².
- Revisa: ¿la cifra es razonable?, ¿responde lo que se preguntó?
Si el problema pide varias cosas iguales, como seis puestos o veinte banderines, se calcula primero una y luego se multiplica.
Rodear: cuánta cinta se necesita#
Ejemplo. Cada puesto del bazar es un rectángulo de 3 m por 2 m. Se rodearán 6 puestos con cinta, y cada rollo trae 25 m. Si cada rollo cuesta ₡1800, ¿cuántos rollos y cuánto dinero hacen falta?
Solución. Un puesto: 2 · (3 + 2) = 10 m de cinta. Seis puestos: 6 · 10 = 60 m. Rollos: 60 : 25 = 2,4, y como no se venden pedazos de rollo, hacen falta 3 rollos. Costo: 3 · 1800 = ₡5400.
Fíjate en la palabra «hacen falta». El resultado 2,4 no es la respuesta final: hay que redondear hacia arriba para que alcance.
Cubrir: cuánta superficie queda#
Ejemplo. El piso del gimnasio es un rectángulo de 20 m por 12 m. Los 6 puestos ocupan 6 m² cada uno. ¿Cuántos metros cuadrados quedan libres para el público?
Solución. Piso: 20 · 12 = 240 m². Puestos: 6 · 6 = 36 m². Libre: 240 − 36 = 204 m².
Ejemplo. Una mesa de exhibición tiene la tapa en forma de trapecio isósceles. Las bases miden 160 cm y 100 cm, la altura es de 40 cm y cada lado inclinado mide 50 cm. Se le pone un mantel que la cubre justo y un borde de cinta por el contorno. ¿Cuánta tela y cuánta cinta se usan?
Solución. Tela (área): ((160 + 100) · 40) : 2 = 10 400 : 2 = 5200 cm². Cinta (perímetro): 160 + 100 + 50 + 50 = 360 cm. Los datos cierran: cada lado inclinado forma con la altura un triángulo rectángulo de catetos 30 cm y 40 cm, y 30² + 40² = 50².
Ejemplo. Se recortan 20 adornos triangulares de cartulina, cada uno de 24 cm de base y 35 cm de alto. Se vende un pliego de cartulina de 90 cm por 100 cm. ¿Cuánta cartulina cubren los adornos y por qué conviene comprar más de un pliego?
Solución. Un adorno: (24 · 35) : 2 = 420 cm². Veinte: 20 · 420 = 8400 cm². El pliego tiene 90 · 100 = 9000 cm², casi lo mismo. Al recortar triángulos siempre quedan sobrantes que no sirven, así que la cuenta de áreas es un mínimo: se compran dos pliegos.
Al revés: hallar una medida que falta#
A veces se conoce el perímetro o el área y se pregunta por un lado. Se usa la fórmula «hacia atrás».
Ejemplo. Un puesto rectangular tiene un área de 12 m² y su largo mide 4 m. ¿Cuánto mide su ancho y cuánta cinta lleva su contorno?
Solución. Como A = largo · ancho, el ancho es 12 : 4 = 3 m. Comprobación: 4 · 3 = 12. El contorno mide 2 · (4 + 3) = 14 m.
Ejemplo. Se rodea un puesto cuadrado con 36 m de cinta, sin que sobre nada. ¿Cuál es el área del puesto?
Solución. Un cuadrado tiene 4 lados iguales, así que cada lado mide 36 : 4 = 9 m. El área es 9 · 9 = 81 m².
Ejemplo. Un cartel rectangular tiene un perímetro de 28 m y su ancho mide 6 m. ¿Cuánto mide su largo?
Solución. La mitad del perímetro es la suma de largo y ancho: 28 : 2 = 14 m. Entonces el largo mide 14 − 6 = 8 m. Su área es 8 · 6 = 48 m².
Plantear tus propios problemas#
Inventar un problema ayuda a entender el tema. Se hace en tres pasos: escoge una figura y sus datos, inventa una situación que tenga sentido y pregunta algo que se conteste con perímetro o con área.
Ejemplo. Inventa un problema con un rectángulo de 9 m por 5 m cuya solución sea la operación 2 · (9 + 5).
Solución. Un posible problema: «La entrada del bazar es un pasillo rectangular de 9 m de largo por 5 m de ancho. Si se quiere poner una cinta en todo su borde, ¿cuántos metros de cinta se necesitan?». La respuesta es 2 · (9 + 5) = 28 m. Así se sabe que el problema pide un perímetro.
Antes de dar por bueno un problema, comprueba que los datos sean posibles. Por ejemplo, en un paralelogramo la altura nunca es mayor que el lado inclinado, porque la altura es el camino más corto entre la base y el lado paralelo. Un paralelogramo de 12 cm de altura y 11 cm de lado inclinado no existe.
Ponte a prueba#
¿Cuánto mide la altura y cuál es el área de un afiche rectangular con 96 cm de perímetro y 30 cm de base?#
La suma de base y altura es la mitad del perímetro: 96 : 2 = 48 cm. La altura mide 48 − 30 = 18 cm. El área es 30 · 18 = 540 cm². Comprobación del perímetro: 2 · (30 + 18) = 96 cm.
¿Cuántos rollos de cinta de 25 m se necesitan para rodear 4 mesas cuadradas de 2 m de lado?#
Una mesa necesita 4 · 2 = 8 m de cinta. Cuatro mesas: 4 · 8 = 32 m. Como 32 : 25 = 1,28, un rollo no alcanza. Hacen falta 2 rollos, que dan 50 m.
¿Cuánto cuesta una lona triangular de 8 m de base y 5 m de altura si el metro cuadrado vale ₡3500?#
El área de la lona es (8 · 5) : 2 = 20 m². Como cada metro cuadrado vale ₡3500, el costo es 20 · 3500 = ₡70 000.
¿Puede existir un paralelogramo con 10 cm de base, 12 cm de altura y un lado inclinado de 11 cm?#
No. La altura es la distancia perpendicular entre los lados paralelos, y esa distancia nunca es mayor que cualquier lado inclinado, que es un camino más largo entre ellos. Como 12 cm es mayor que 11 cm, los datos son imposibles, aunque el área 10 · 12 = 120 cm² se pueda calcular con la fórmula.
¿Cómo inventarías un problema cuya cuenta sea 7 · 7, y cuál sería su respuesta?#
Una posibilidad: «Un puesto del bazar es un cuadrado de 7 m de lado. ¿Cuántos metros cuadrados de piso ocupa?». Se resuelve con A = 7 · 7 = 49 m². Es un problema de área, porque pregunta cuánta superficie se cubre.
Fuentes#
También en Matemáticas 5ºQuinto grado