Un pintor decora una pared con una cenefa, esa franja de adornos que se repite como una cinta. Usa una plantilla de cartón con un dibujo. La coloca, pinta, la desliza un poco a la derecha, pinta otra vez, y así hasta llegar al final de la pared. Todos los dibujos quedan iguales y mirando para el mismo lado, igual que pasa en las traslaciones de figuras.
Ese movimiento se llama traslación.
Definición
Una traslación es un movimiento en el que una figura se desliza en línea recta a otra posición, sin girar y sin voltearse. Todos los puntos de la figura se mueven la misma cantidad y en la misma dirección. La figura nueva es la imagen de la original.
Qué cambia y qué se queda igual#
Cuando el pintor desliza la plantilla, cambia el lugar donde está el dibujo. Pero hay cosas que no cambian:
- Los lados miden lo mismo que antes.
- Los ángulos miden lo mismo que antes.
- La figura mira hacia el mismo lado: la punta que apuntaba arriba sigue apuntando arriba.
- El perímetro y el área son iguales a los de la original.
Por eso en una traslación solo cambia la posición. Si la figura se gira o se voltea como en un espejo, ya no es una traslación.
Trasladar en una cuadrícula: «a la derecha» y «hacia arriba»#
Una traslación se indica con dos números: cuántos cuadros se mueve hacia la derecha o la izquierda y cuántos hacia arriba o abajo. Por ejemplo: «5 a la derecha y 2 hacia arriba». Esa orden se aplica a todos los vértices.
Con coordenadas, mover a la derecha suma a la x, y mover hacia arriba suma a la y. Mover a la izquierda resta a la x y mover hacia abajo resta a la y.
Ejemplo. Un triángulo tiene vértices A(1, 2), B(5, 2) y C(1, 4). Se traslada 4 cuadros a la derecha y 3 hacia arriba. ¿Dónde quedan sus vértices?
Solución. A(1, 2) pasa a A′(1 + 4, 2 + 3) = (5, 5). B(5, 2) pasa a B′(9, 5). C(1, 4) pasa a C′(5, 7). El lado AB mide 4 y el A′B′ también (9 − 5 = 4), y el lado AC mide 2 y el A′C′ también (7 − 5 = 2).
| Vértice | Original | Mueve | Imagen |
|---|---|---|---|
| A | (1, 2) | +4 en x, +3 en y | A′(5, 5) |
| B | (5, 2) | +4 en x, +3 en y | B′(9, 5) |
| C | (1, 4) | +4 en x, +3 en y | C′(5, 7) |
Cuidado al mover hacia la izquierda o hacia abajo: en el primer cuadrante no hay números negativos. Si el punto (2, 6) se mueve 3 a la izquierda, saldría de la zona (2 − 3 = −1). Primero revisa que la resta no dé menos de 0.
Descubrir la traslación entre dos figuras#
A veces se dan la figura y su copia, y hay que averiguar cuánto se movió. Se compara un vértice con su imagen: lo que cambió la x es el movimiento horizontal, y lo que cambió la y es el vertical. Después se comprueba con otro vértice.
Ejemplo. El punto A(2, 3) pasa a A′(7, 5), y el punto B(4, 6) pasa a B′(9, 8). ¿Es una traslación? ¿Cuál?
Solución. De A a A′: la x sube 7 − 2 = 5 y la y sube 5 − 3 = 2. De B a B′: la x sube 9 − 4 = 5 y la y sube 8 − 6 = 2. Los dos puntos se mueven igual, así que sí es una traslación: 5 a la derecha y 2 hacia arriba.
Ejemplo. El triángulo con vértices (2, 1), (5, 1) y (2, 3) tiene su ángulo recto en el vértice de la izquierda. Otro triángulo tiene vértices (9, 1), (6, 1) y (9, 3), con el ángulo recto en el vértice de la derecha. ¿Es traslación del primero?
Solución. No. En el primero, el ángulo recto está a la izquierda y sus lados salen hacia la derecha y hacia arriba. En el segundo, el ángulo recto está a la derecha y sus lados salen hacia la izquierda y hacia arriba. Una traslación no cambia hacia dónde mira la figura. El segundo triángulo es el primero volteado, como visto en un espejo: tiene las mismas medidas, pero no es una traslación.
La cenefa: traslaciones repetidas#
Una cenefa se arma repitiendo la misma traslación. Cada dibujo es la traslación del anterior con el mismo movimiento.
Ejemplo. El motivo de la plantilla es un paralelogramo con vértices (1, 1), (3, 1), (4, 3) y (2, 3). El pintor lo desliza 4 cuadros a la derecha cada vez, sin subir. ¿Cuáles son los vértices de la segunda y de la tercera copia?
Solución. Segunda copia: se suma 4 a cada x: (5, 1), (7, 1), (8, 3) y (6, 3). Tercera copia: se suman 4 más: (9, 1), (11, 1), (12, 3) y (10, 3). Los puntos de abajo siguen en y = 1 y los de arriba en y = 3, porque no se movió hacia arriba.
Si la pared mide 14 cuadros de ancho, la primera copia termina en x = 4, la segunda en 8 y la tercera en 12. Una cuarta terminaría en 16 y no cabe. Entonces entran 3 copias completas.
Ponte a prueba#
¿Dónde quedan los vértices del triángulo (2, 2), (6, 2) y (2, 5) si se traslada 3 cuadros a la derecha y 4 hacia arriba?#
A cada x se le suma 3 y a cada y se le suma 4. (2, 2) pasa a (5, 6), (6, 2) pasa a (9, 6) y (2, 5) pasa a (5, 9). El triángulo mantiene sus lados: la base sigue midiendo 4 y la altura 3.
¿Dónde queda el punto (8, 7) si se traslada 5 cuadros a la izquierda y 3 hacia abajo?#
Mover a la izquierda resta a la x y mover hacia abajo resta a la y: (8 − 5, 7 − 3) = (3, 4). Se queda en el primer cuadrante porque las dos restas dan números mayores o iguales que cero.
¿Es una traslación pasar del rectángulo (1, 2), (3, 2), (3, 5), (1, 5) al rectángulo (6, 4), (8, 4), (8, 7), (6, 7)? ¿Cuál es?#
Sí. Cada vértice avanza 5 en x (de 1 a 6 y de 3 a 8) y sube 2 en y (de 2 a 4 y de 5 a 7). Se movió 5 cuadros a la derecha y 2 hacia arriba, y todos los vértices se movieron igual.
¿Es una traslación pasar del triángulo (2, 1), (4, 1), (4, 4) al triángulo (5, 3), (5, 5), (8, 5)?#
No. En el primer triángulo, el lado de 2 cuadros es horizontal y el de 3 es vertical. En el segundo, el lado de 2 es vertical y el de 3 es horizontal. Una traslación no cambia la dirección de los lados, así que la figura no solo se deslizó: también se volteó (quedó como reflejada en un espejo), y por eso no es una traslación.
¿Cuánto miden el perímetro y el área de un rectángulo de 6 cm por 2 cm después de trasladarlo?#
Lo mismo que antes, porque una traslación no cambia las medidas. El perímetro es 2 · (6 + 2) = 16 cm y el área es 6 · 2 = 12 cm².
Fuentes#
También en Matemáticas 5ºQuinto grado