Teoría de Números en la Resolución de Problemas

El concepto de la teoría de los números se define como aquellas propiedades que poseen los números enteros. Esto quiere decir que se centra en los anillos íntegros que contienen los números “Z” o enteros y los “N” o naturales, es decir, los naturales (N), que son los enteros positivos, y los enteros (Z), que abarcan los positivos, los negativos y el cero.

Para poder aplicar la teoría de los números en la resolución de problemas en diferentes campos, se deben incluir diversas técnicas. Algunas de estas técnicas a utilizar son los números primos, el mínimo común múltiplo (mcm), el análisis de la divisibilidad o el máximo común divisor (MCD).

Si queremos aplicar estas técnicas de una manera adecuada es importante tener presente algunas claves. En campos como la Informática en donde los algoritmos permiten la optimización de las redes o en la criptografía que se fundamenta en la seguridad de las comunicaciones, esta teoría toma gran relevancia.

Dentro de los problemas matemáticos la teoría se aplica para lograr una solución en base a las ecuaciones algebraicas racionales o enteras. Esto permite solucionar interrogantes que involucren de las congruencias o la divisibilidad, así como el lograr algoritmos eficientes.

Técnicas Comunes de la Teoría de Números en la Resolución de Problemas#

• Números Primos: Son aquellos números naturales que son mayores a 1 y que solamente poseen dos divisores positivos: el 1 y ellos mismos. Sin embargo, si un número presenta más de dos divisores se consideran como números compuestos.
  • Ejemplos: El número 5, sus divisores son el 1 y el 5. El número dos es el único número par que es primo.
• Divisibilidad: Habla de la propiedad que posee un número entero que es divisible por otro número y no deja resto. En otras palabras, el resto debe ser de cero.
  • Ejemplo: Si dividimos 20 entre 4 el resultado sería 5 y el resto es de 0 (cero).
• Congruencias: Usadas para resolver problemas entre los dígitos o encontrar secuencias o patrones numéricos. También se define como la relación que existe entre dos números enteros cuya resta es un múltiplo de un número entero positivo llamado módulo (mod).
  • Ejemplo: 17≡ 5 (mod 6), esto indica que 17 -5 = 12 (es un múltiplo de 6).

Máximo Común Divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm):#

• Máximo Común Divisor (MCD): Se refiere al número mayor que divide exactamente a dos o más números enteros. Por lo general se realiza una lista de todos los divisores del número en cuestión usando la factorización y se escoge al divisor mayor que esté presente en ambos números.
  • Ejemplo: MCD de 12 y 16, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 y los divisores de 16 son 1, 2, 4, 8, 16. Por lo tanto el 4 es el MCD de ambos números al ser el divisor mayor presente en ambos números.
• Mínimo Común Múltiplo (mcm): Es el número (positivo) más pequeño que es divisible entre dos o más números. Se usa el mismo método que en el MCD, pero con la diferencia de que se escoge el múltiplo menor de ambos números tengan en común.
  • Ejemplo: El mcm de 4 y 6. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24… y los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30 … Por lo tanto, el mcm de ambos números es el 12.

Otras Técnicas de la Teoría de Números en la Resolución de Problemas#

• Conformidades: Hacen una relación entre divisiones de dos números (enteros), por un mismo divisor.
  • Ejemplo: 10 ≡ 4 (mod 6). Al dividir ambos números entre 6, el resto de la división será 4.
• Teorema Fundamental de la Aritmética:  Todo número entero mayor que 1 puede ser expresado de una única forma como el producto de las potencias de los números primos.
  • Ejemplo: Si factorizamos el número 12 el resultado sería 2 x 2 x 3 o (2² x 3).
• Principio de inducción: Usado como indicador de la veracidad de una afirmación de los números enteros positivos.
  • Ejemplo: Si a² − 1 es divisible por 24, entonces a no es divisible ni por 2 ni por 3.

Importancia de la Teoría de los Números en la Resolución de Problemas#

La teoría de los números se define como fundamental en la resolución de problemas complejos dentro de la matemática. Ya que colabora en el análisis de los algoritmos que son la base de la optimización de las redes, así como en la seguridad interna o criptografía.

La correcta aplicación de la teoría de los números es vital en campos como la ingeniería e informática ya que toda su esencia planta su base en la seguridad de los datos. Sin desmeritar que la programación y los algoritmos facilitan las tareas diarias que se llevan a cabo en la red informática.

Ponte a prueba#

¿Cómo se calcula el máximo común divisor de 12 y 16?#

¿Qué significa que 17 ≡ 5 (mod 6)?#

¿Cómo se descompone el número 12 en factores primos?#

¿Por qué el 2 es el único número primo par?#