Tablas, expresiones y propiedades de las operaciones

Doña Marta vende empanadas de queso en la parada del bus, a ₡600 cada una. Un señor le pide dos, una muchacha pide cinco, un chofer pide diez. Ella no hace la cuenta desde cero cada vez: ya sabe que el precio depende de cuántas empanadas lleven. Esa dependencia se puede ordenar en tablas y expresiones matemáticas, y cumple las propiedades de las operaciones.

Construir una tabla#

Una tabla pone en una fila los valores que cambian (empanadas) y en otra los valores que dependen de ellos (colones). Para armarla, calculas el primero y buscas qué se repite.

Empanadas	1	2	3	4	5	10
Precio en colones	600	1 200	1 800	2 400	3 000	6 000

Cada vez que se agrega una empanada, el precio sube ₡600. Esa regla de formación te permite seguir la tabla sin calcular todo otra vez, y también detectar errores: si alguien escribe 2 100 para 4 empanadas, no encaja con el patrón.

Representar con expresiones#

Con la expresión puedes calcular cualquier caso. Si piden 12 empanadas: 600 × 12 = 7 200, o sea ₡7 200. Es mucho más rápido que continuar la tabla hasta el 12.

Ejemplo. En la feria del agricultor, un cajón de naranjas trae 40 naranjas. Escribe la expresión del total y completa: con 3 cajones, con 5 cajones.

Solución. Total = 40 × número de cajones. Con 3 cajones: 40 × 3 = 120 naranjas. Con 5 cajones: 40 × 5 = 200 naranjas.

Hallar números faltantes#

A veces conoces el resultado y te falta uno de los datos. Se resuelve «devolviéndose» con la operación contraria.

• 7 + □ = 15. Es una suma, así que restas: 15 − 7 = 8. El número faltante es 8.
• □ − 9 = 20. Al número le quitaron 9 y quedó 20. Para recuperarlo, sumas: 20 + 9 = 29.
• 6 × □ = 54. Divides: 54 ÷ 6 = 9.
• □ ÷ 4 = 12. Multiplicas: 12 × 4 = 48.

Siempre puedes comprobar sustituyendo: 48 ÷ 4 sí da 12. Esa verificación toma cinco segundos y te evita perder puntos en el examen.

Propiedades de las operaciones#

Estas propiedades son reglas que siempre se cumplen y que sirven para calcular de cabeza.

Propiedad	Qué dice	Ejemplo
Conmutativa (suma y multiplicación)	El orden de los números no cambia el resultado	8 + 5 = 5 + 8 = 13; 4 × 7 = 7 × 4 = 28
Asociativa (suma y multiplicación)	La forma de agrupar no cambia el resultado	(2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12
Elemento neutro	Sumar 0 o multiplicar por 1 deja el número igual	35 + 0 = 35; 35 × 1 = 35
Distributiva	Multiplicar una suma es multiplicar cada sumando	6 × (10 + 2) = 6 × 10 + 6 × 2 = 72

Ejemplo resuelto. Calcula 25 × 7 × 4 sin calculadora. Por la propiedad asociativa y conmutativa, puedes cambiar el orden: 25 × 4 = 100, y luego 100 × 7 = 700. Mucho más fácil que empezar con 25 × 7.

Otro. 8 × 12: piensa 12 como 10 + 2. Entonces 8 × 10 + 8 × 2 = 80 + 16 = 96.

Errores frecuentes#

• Creer que la resta y la división son conmutativas. 9 − 4 no es igual a 4 − 9, y 12 ÷ 3 no es igual a 3 ÷ 12.
• Llenar una tabla sumando siempre lo mismo cuando la regla es multiplicar, o al revés. Mira dos columnas seguidas antes de decidir.
• Resolver un número faltante con la misma operación que aparece en lugar de la contraria.

Para practicar, invéntate una tabla con tu propia situación, por ejemplo el costo de pasajes de bus para varios días, y escribe su expresión. Luego pídele a alguien de tu casa que te dé un número y adivina el resultado antes de que lo calcule.

Ponte a prueba#

Un cuaderno cuesta ₡900. Escribe la expresión del costo de varios cuadernos y calcula el de 4.#

Halla el número que falta: □ + 18 = 50.#

Calcula 5 × 13 usando la propiedad distributiva.#

¿Se cumple la propiedad conmutativa en la resta? Da un ejemplo.#

Calcula mentalmente 20 × 9 × 5 aplicando propiedades.#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de estudio de Matemáticas, II ciclo (MEP, Costa Rica) (PDF)