Sumar y restar fracciones homogéneas y heterogéneas

Para el recreo, Daniela se comió 1/4 de una barra de pan y su hermano Mateo, 1/3 de la misma barra. ¿Qué parte se comieron entre los dos? ¿Y cuánto queda? No se pueden sumar 1/4 y 1/3 como si fueran números naturales, porque los pedazos son de tamaños distintos.

Aquí aprenderás a operar con fracciones con el mismo denominador (homogéneas) y con denominadores distintos (heterogéneas), incluso cuando aparecen números mixtos. Si quieres repasar antes las ideas básicas, puedes leer sobre fracciones homogéneas y fracciones heterogéneas.

Fracciones con el mismo denominador#

El denominador dice en cuántas partes iguales se dividió la unidad, y el numerador, cuántas se toman. Si las partes son del mismo tamaño, basta con contarlas. Tres novenos más dos novenos son cinco novenos, igual que tres lápices más dos lápices son cinco lápices.

Ejemplo. Calcula 5/9 + 2/9 y 11/12 − 5/12.

Solución. 5/9 + 2/9 = 7/9. Para la resta, 11/12 − 5/12 = 6/12, y dividiendo numerador y denominador entre 6 queda 1/2.

Si el resultado es una fracción impropia, se puede escribir como número mixto. Por ejemplo, 7/6 + 4/6 = 11/6, que es 1 5/6, porque 11 = 6 + 5.

Un error muy común es sumar también los denominadores. Si 1/3 + 1/3 diera 2/6, el resultado sería igual a cada sumando (2/6 = 1/3), cuando al juntar dos partes tiene que haber más que una sola. En realidad son 2/3. El denominador solo nombra el tamaño de la parte, y ese tamaño no cambia al juntarlas.

Fracciones con distinto denominador#

Para volver a la barra de pan, se necesita un tamaño de pedazo que sirva para cuartos y para tercios. Sirven los doceavos, porque 12 es múltiplo de 4 y de 3. Entonces 1/4 = 3/12 y 1/3 = 4/12, y juntos suman 7/12 de la barra. Ese denominador sale del mínimo común múltiplo de 4 y 3 (puedes repasarlo en mínimo común múltiplo y máximo común divisor).

1. Halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2. Escribe cada fracción como una equivalente con ese denominador: se multiplica numerador y denominador por el mismo número.
3. Suma o resta los numeradores y conserva el denominador común.
4. Simplifica el resultado y, si es impropio, escríbelo como número mixto.

Ejemplo. Calcula 3/4 + 5/6.

Solución. El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12. Entonces 3/4 = 9/12 y 5/6 = 10/12. La suma es 19/12, que como número mixto es 1 7/12.

Ejemplo. Calcula 7/8 − 1/3.

Solución. Como 8 y 3 no comparten factores, el mínimo común múltiplo es 24. Entonces 7/8 = 21/24 y 1/3 = 8/24. La resta es 13/24, que ya no se puede simplificar.

Ejemplo. Calcula 1/2 + 1/3 + 1/5.

Solución. El mínimo común múltiplo de 2, 3 y 5 es 30. Entonces 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30, o sea 1 1/30.

Otra opción es usar cualquier múltiplo común, como el producto de los denominadores. Funciona, pero los números salen más grandes y hay que simplificar al final.

Números mixtos#

Los números mixtos se pueden trabajar de dos maneras: convertirlos en fracciones impropias, o tratar aparte los enteros y las fracciones. En la resta, el segundo camino a veces obliga a «prestar» una unidad del entero. Un natural también se puede escribir como fracción: 3 + 2/5 = 15/5 + 2/5 = 17/5.

Ejemplo. Calcula 2 2/5 + 1 3/4.

Solución. Se suman aparte los enteros (2 + 1 = 3) y las fracciones: 2/5 + 3/4 = 8/20 + 15/20 = 23/20, que es 1 3/20. Al juntar todo queda 4 3/20.

Ejemplo. Calcula 5 1/6 − 2 3/4.

Solución. Con doceavos, 5 2/12 − 2 9/12. Como 2/12 es menor que 9/12, se toma una unidad del 5: 4 y 12/12 + 2/12 = 4 14/12. Ahora 4 14/12 − 2 9/12 = 2 5/12. Con impropias: 31/6 − 11/4 = 62/12 − 33/12 = 29/12, que es 2 5/12.

Problemas de la vida diaria#

En un problema, la suma sirve para juntar o agregar y la resta, para quitar o comparar cuánto falta. Casi siempre ayuda pensar en la unidad completa como 1.

Ejemplo. Un sendero de un parque nacional se recorre en tres días. El primer día un grupo hizo 2/5 del sendero y el segundo, 1/4. ¿Qué fracción les falta para el último día?

Solución. Recorrieron 2/5 + 1/4 = 8/20 + 5/20 = 13/20 del sendero. Falta 1 − 13/20 = 20/20 − 13/20 = 7/20.

Ejemplo. Una receta de arroz con pollo pide 3 1/2 tazas de caldo. Ya se echaron 1 3/4 tazas. ¿Cuánto falta?

Solución. 3 1/2 − 1 3/4 = 3 2/4 − 1 3/4 = 2 6/4 − 1 3/4 = 1 3/4. Faltan 1 3/4 tazas.

Antes de dar la respuesta, revisa si es razonable. En el ejemplo del sendero, 2/5 es casi 1/2 y 1/4 es la cuarta parte. Juntas pasan de la mitad pero no llegan a 1. Por eso 13/20 tiene sentido.

Si te piden comparar, también sirve el denominador común. Para saber si 5/6 es mayor que 7/9, se escriben como 15/18 y 14/18. Entonces 5/6 es mayor.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es 9/10 − 3/10 y cómo se escribe el resultado?#

¿Cuánto es 5/6 + 3/8 y por qué conviene usar 24 como denominador común?#

¿Cuánto es 4 1/5 − 1 2/3?#

¿Por qué 1/3 + 1/4 no es 2/7?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)