En el recreo, Elías juega a las canicas. Antes de volver al aula, cuenta cuántas tiene en total. Hace la cuenta de una forma y su amiga Sara la hace de otra, usando sin saberlo las propiedades conmutativa y asociativa. ¡A los dos les da lo mismo!
Con Elías se ve que, al sumar, se puede cambiar el orden y se puede juntar primero lo que más te convenga. Así las sumas se vuelven más fáciles de hacer de cabeza.
Definición
La propiedad conmutativa dice que puedes sumar los números en cualquier orden y el total sale igual. La propiedad asociativa dice que, con tres o más números, tú escoges cuáles juntar primero. El total no se altera.
Primero, las canicas rojas o las azules: la conmutativa#
Elías tiene 14 canicas rojas y 25 azules. Para saber cuántas son, suma 14 + 25. Sara empieza por las azules: suma 25 + 14.
Los dos obtienen 39. Los números que se suman se llaman sumandos. Si los pones al revés, el total queda igual. Eso es la propiedad conmutativa.
| Cuenta de Elías | Cuenta de Sara | Resultado |
|---|---|---|
| 14 + 25 | 25 + 14 | 39 |
| 8 + 30 | 30 + 8 | 38 |
| 19 + 21 | 21 + 19 | 40 |
Esto sirve para calcular de cabeza. Es más fácil empezar con el número grande y contar hacia adelante desde él.
Ejemplo. Elías gana 4 canicas y ya tenía 56. ¿Cuántas tiene ahora? Cambia el orden para que la cuenta sea fácil.
Solución. Se escribe 4 + 56 como 56 + 4. Desde 56 se cuentan 4 más: 57, 58, 59, 60. Elías tiene 60 canicas.
Juntar de dos en dos: la asociativa#
Elías guarda las canicas en cuatro bolsitas. Tienen 27, 8, 13 y 22 canicas. Sumar los cuatro números uno tras otro cuesta trabajo.
Mejor busca parejas que den números redondos. Fíjate: 27 y 13 forman 40. Y 8 y 22 forman 30. Pones juntos el 27 y el 13, aunque en las bolsitas no estaban uno al lado del otro.
Fórmula
(27 + 13) + (8 + 22) = 40 + 30 = 70
Los paréntesis dicen qué suma se hace primero.
Para formar esas parejas, Elías cambió el orden de los sumandos (conmutativa) y después los juntó de dos en dos. Juntar de otra manera y que el total sea el mismo es la propiedad asociativa. Aquí asociar quiere decir juntar los números que tú escoges.
Con tres números se ve claro. Sumar (7 + 3) + 9 es hacer 10 + 9 = 19. Sumar 7 + (3 + 9) es hacer 7 + 12 = 19. Da igual.
| Forma de juntar | Pasos | Resultado |
|---|---|---|
| (7 + 3) + 9 | 10 + 9 | 19 |
| 7 + (3 + 9) | 7 + 12 | 19 |
Usar las dos juntas#
Muchas veces el orden de los números no es el mejor para ti. Entonces usas las dos propiedades: primero cambias el orden y después juntas por parejas.
Ejemplo. Sara y Elías ponen en una caja sus canicas: 36, 48, 14 y 12. ¿Cuántas hay en total?
Solución. Cambia el orden: 36 + 14 + 48 + 12. Junta 36 + 14 = 50. Junta 48 + 12 = 60. Suma 50 + 60 = 110. Hay 110 canicas.
Busca primero las parejas que terminan en 0 al sumarse. Por ejemplo, 6 y 4, 7 y 3, o 36 y 14.
Ejemplo. Elías cuenta tres montones: 35, 17 y 25. ¿Cómo los sumas fácil?
Solución. El 35 y el 25 hacen 60. Se cambia el orden y se junta 35 + 25 = 60. Luego, 60 + 17 = 77. Elías tiene 77 canicas.
Para saber si juntaste bien, puedes hacer la suma en otro orden. Si te da lo mismo, la cuenta está bien.
Cuidado: no todas las operaciones#
Estas dos propiedades valen para la suma. No debes usarlas con cualquier operación.
Mira la resta. Si Elías tiene 9 canicas y pierde 4, le quedan 9 − 4 = 5. Pero 4 − 9 no se puede hacer con estos números, porque de 4 canicas no se pueden quitar 9. Si restas, no cambies de lugar los números.
- En la suma, cambiar el orden no cambia el resultado.
- En la suma, juntar de otra forma no cambia el resultado.
- En la resta, hay que dejar los números en su orden.
Si quieres repasar qué es sumar, puedes leer la lección sobre la suma.
Ponte a prueba#
¿Cuánto es 18 + 27 y cuánto es 27 + 18? ¿Qué propiedad lo explica?#
Las dos sumas dan 45. Se cambió el orden de los sumandos y el resultado quedó igual. Esa es la propiedad conmutativa. Puedes comprobarlo así: 18 + 27 es 18 + 20 = 38, y luego 38 + 7 = 45. Y 27 + 18 es 27 + 10 = 37, y luego 37 + 8 = 45.
¿Cómo sumas fácil 35 + 17 + 25?#
Se buscan los números que forman un número redondo. El 35 y el 25 suman 60. Después se suma 60 + 17 = 77. Se usó la propiedad conmutativa para poner juntos el 35 y el 25, y la asociativa para sumarlos primero. El total es 77.
¿Qué número falta en (9 + 6) + 4 = 9 + (□ + 4)?#
Falta el 6. A la izquierda se hace 9 + 6 = 15 y luego 15 + 4 = 19. A la derecha, con el 6 en el cuadrito, se hace 6 + 4 = 10 y luego 9 + 10 = 19. Los dos lados dan 19. Es la propiedad asociativa: solo cambió qué parte se suma primero.
¿Se puede cambiar el orden en 12 − 5 y escribir 5 − 12?#
No. La resta no tiene propiedad conmutativa. Con 12 − 5 se obtiene 7. En cambio, 5 − 12 no se puede hacer con estos números, porque no se pueden quitar 12 de 5. La propiedad conmutativa sirve solo para la suma, donde 12 + 5 y 5 + 12 dan 17.
¿Cómo sumas fácil 48 + 26 + 52 + 14?#
Se juntan las parejas que dan números redondos. El 48 y el 52 suman 100. El 26 y el 14 suman 40. Después se suma 100 + 40 = 140. El orden de los sumandos se cambió y se juntaron de otra forma. El resultado es 140.
Fuentes#
También en Matemáticas 2ºSegundo grado