Sucesiones y patrones con números y figuras en sexto año
Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Sexto grado Lección 45 de 62Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 8 min de lectura
Los azulejos de un piso, las filas de asientos de un salón de actos o los días de la semana que se repiten una y otra vez siguen un orden. Cuando ese orden se puede describir con una regla, decimos que hay un patrón. Descubrir el patrón permite adivinar lo que viene después, y también lo que viene mucho más adelante, sin tener que escribir todo lo anterior.
En esta lección trabajarás con sucesiones de números y de figuras, aprenderás a escribir la regla con símbolos matemáticos y verás cómo usarla para resolver problemas.
Definición
Una sucesión es una lista ordenada de elementos (números o figuras) en la que cada uno ocupa un lugar. Cada elemento es un término. Si un término ocupa el lugar n, se nombra an. La ley de formación, también llamada patrón, es la regla con la que se calcula cualquier término sabiendo su posición.
Sucesiones numéricas: sumar, restar o multiplicar siempre lo mismo#
Hay sucesiones en las que, al avanzar de lugar, se agrega siempre la misma cantidad. En 3, 10, 17, 24, 31… se suma 7 cada vez. En otras se resta: 100, 93, 86, 79… (se resta 7). Y en otras se multiplica: 5, 10, 20, 40… (se multiplica por 2).
Para llegar a un término lejano, como el 40.º, sumar 7 cuarenta veces es lento. Conviene una ley que use la posición n. Mira la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, 27…: se suma 5 cada vez. Si armas una tabla, notas que cada término es 5 veces su posición, menos 3:
| Posición n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 × n | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| Término an = 5n − 3 | 2 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 |
Esta ley usa dos operaciones: primero multiplica y luego resta. Es la que pide el programa de sexto año para el nivel de las sucesiones.
Ejemplo. Con la ley an = 5n − 3, ¿cuál es el término número 40? ¿El número 232 es un término de la sucesión? ¿Y el 150?
Solución. Con n = 40: 5 × 40 − 3 = 197. Para saber si 232 es un término, se pregunta qué posición tendría: 5n − 3 = 232 da 5n = 235, o sea n = 47; como 47 es un número natural, sí es el término 47. Con 150: 5n = 153 y n = 30,6, que no es natural, así que 150 no es término.
Cómo descubrir la ley de formación#
Estos pasos sirven cuando la cantidad que se agrega o se quita es siempre la misma:
- Resta cada término del que le sigue y comprueba que la diferencia sea siempre la misma. Llamémosla d.
- Escribe la ley como d × n, más o menos un ajuste.
- Calcula el ajuste con el primer término: es lo que falta para llegar a a1.
- Comprueba la ley con dos términos más.
Ejemplo. Halla la ley de 11, 17, 23, 29… y calcula el término número 25.
Solución. Las diferencias son 17 − 11 = 6, 23 − 17 = 6 y 29 − 23 = 6, así que d = 6. Entonces 6 × 1 = 6, pero el primer término es 11: faltan 5. La ley es an = 6n + 5. Se comprueba con n = 3: 6 × 3 + 5 = 23, que es el tercer término. Para n = 25: 6 × 25 + 5 = 155.
Si las diferencias no son iguales, el patrón es otro: puede ser una multiplicación o una diferencia que va cambiando. Más adelante en esta lección verás un caso de cada uno. También puedes repasar la idea general en Sucesiones y patrones.
Patrones con figuras#
Las sucesiones también se construyen con dibujos. La clave es contar algo en cada figura (baldosas, puntos, bloques) y convertirlo en una sucesión de números.
Ejemplo. Con baldosas se arma un cuadrado de n × n y se rodea con una hilera de baldosas, como un marco. Con un cuadrado de 1 × 1 el marco usa 8 baldosas; con uno de 2 × 2, 12; con uno de 3 × 3, 16. ¿Cuántas baldosas tiene el marco de un cuadrado de 25 × 25?
Solución. Los números 8, 12, 16 aumentan de 4 en 4, así que la ley empieza con 4n; como 4 × 1 = 4 y el primer término es 8, faltan 4. Entonces an = 4n + 4. Otra forma de verlo: el marco tiene 4 lados de n baldosas cada uno y, además, 4 baldosas en las esquinas. Para n = 25: 4 × 25 + 4 = 104 baldosas.
Ejemplo. Una escalera se arma con bloques: de 1 escalón, 1 bloque; de 2 escalones, 3 bloques; de 3, 6; de 4, 10; de 5, 15. ¿Cuántos bloques lleva la escalera de 8 escalones?
Solución. Las diferencias son 2, 3, 4 y 5: no son constantes, sino que aumentan de 1 en 1, porque cada nuevo escalón agrega una fila con un bloque más que la anterior. Siguiendo el patrón: 15, 21 (+6), 28 (+7), 36 (+8). La escalera de 8 escalones lleva 36 bloques; es lo mismo que sumar 1 + 2 + 3 + … + 8.
Patrones que se repiten y patrones que se multiplican#
Hay patrones que se repiten en ciclos. Para saber qué hay en una posición lejana, se divide la posición entre el largo del ciclo y se mira el residuo: el residuo indica el lugar dentro del ciclo (si el residuo es 0, es el último del ciclo).
Ejemplo. Una cinta de colores repite siempre rojo, verde, azul, rojo, verde, azul… ¿De qué color es la franja número 50? ¿Y la 99?
Solución. El ciclo es de 3 colores. 50 ÷ 3 da 16 y sobran 2; el residuo 2 corresponde al segundo color, verde. 99 ÷ 3 da 33 y sobra 0; es el último del ciclo, azul.
Otros patrones se multiplican. Imagina (en teoría) que una hoja de papel se dobla por la mitad una y otra vez: cada doblez duplica el número de capas. Con 1 doblez hay 2 capas, con 2 hay 4, con 3 hay 8. Las capas siguen la sucesión 2, 4, 8, 16…, cuya ley es an = 2n. Con 7 dobleces serían 128 capas, y con 10, 1 024.
Problemas con sucesiones#
Para resolver un problema con sucesiones, identifica qué cantidad cambia, escribe los primeros términos, halla la ley y úsala para responder.
Ejemplo. En un taxi de ejercicio se cobran ₡900 de arranque y ₡550 por cada kilómetro. ¿Cuánto cuesta un viaje de 12 km? Con ₡9 000, ¿cuántos kilómetros completos se pueden recorrer?
Solución. Para 1, 2, 3 km, el precio es 1 450, 2 000, 2 550: aumenta ₡550 por kilómetro, así que la ley es an = 550n + 900. Con 12 km: 550 × 12 + 900 = 7 500 colones. Con ₡9 000 se restan los ₡900 de arranque y quedan 8 100; 8 100 ÷ 550 ≈ 14,7, así que se pueden recorrer 14 km completos (costarían ₡8 600).
Ejemplo. En una gradería de ejercicio, la primera fila tiene 14 asientos y cada fila siguiente tiene 2 más que la anterior. ¿Cuántos asientos tiene la fila 20? ¿Desde qué fila hay al menos 60 asientos?
Solución. Los asientos son 14, 16, 18…: se suman 2 cada vez. Como 2 × 1 = 2 y el primer término es 14, faltan 12 y la ley es an = 2n + 12. En la fila 20: 2 × 20 + 12 = 52. Para llegar a 60: 2n + 12 ≥ 60, 2n ≥ 48, n ≥ 24. Desde la fila 24.
Ponte a prueba#
¿Cuáles son los primeros cinco términos de la sucesión con ley aₙ = 6n − 2 y cuánto vale el término número 50?#
Se reemplaza n por 1, 2, 3, 4 y 5: 6 × 1 − 2 = 4, 6 × 2 − 2 = 10, 6 × 3 − 2 = 16, 6 × 4 − 2 = 22 y 6 × 5 − 2 = 28. Cada término es 6 más que el anterior. Para n = 50: 6 × 50 − 2 = 300 − 2 = 298.
¿Cuál es la ley de formación de la sucesión decreciente 95, 88, 81, 74… y cuánto vale el término número 10?#
Cada término es 7 menos que el anterior, así que la ley empieza con −7n. Con n = 1, −7 × 1 = −7, pero el primer término es 95: hay que sumar 102. La ley es an = 102 − 7n. Se comprueba con n = 2: 102 − 14 = 88. Para n = 10: 102 − 70 = 32.
¿Cuántas baldosas tiene el marco de un cuadrado de 12 × 12, si la ley del marco es 4n + 4?#
Se sustituye n por 12: 4 × 12 + 4 = 48 + 4 = 52 baldosas. La ley sirve para cualquier tamaño de cuadrado sin necesidad de dibujarlo.
¿Qué fruta ocupa el lugar 70 si se repite siempre manzana, pera, mango, piña?#
El ciclo tiene 4 frutas. 70 ÷ 4 da 17 y sobran 2. El residuo 2 indica el segundo lugar del ciclo, que es la pera. Si el residuo hubiera sido 0, sería la última, la piña.
¿Cuántos asientos tendría la fila 30 de una gradería cuya ley es «el doble de la posición más 12»?#
Se reemplaza n por 30: 2 × 30 + 12 = 72 asientos. Esa ley dice que la primera fila tiene 14 asientos y que cada fila siguiente tiene 2 más.
Fuentes#
También en matemáticas
