Expresiones algebraicas y plano de coordenadas en sexto año

Cuando alguien dice «el doble de mis años más tres» está describiendo una cantidad con palabras. Las matemáticas tienen una forma más corta de escribir lo mismo: con letras, números y signos de operación. Esa forma de escribir se llama lenguaje algebraico.

En esta lección aprenderás a pasar frases a símbolos, a calcular el valor de una expresión y a representar en el plano de coordenadas las parejas de números que cumplen una relación entre dos cantidades que cambian al mismo tiempo.

De las palabras a los símbolos#

Para escribir una frase con símbolos, primero decide qué letra representa la cantidad desconocida y luego traduce cada palabra clave a una operación. La tabla muestra las más comunes, con la letra x:

Frase	Expresión algebraica
Un número aumentado en 9	x + 9
Un número disminuido en 5	x − 5
El quíntuple de un número	5x
La tercera parte de un número	x ÷ 3
El triple de la diferencia entre un número y 4	3(x − 4)
El 15 % de un número	0,15x
Un número aumentado en su 20 %	x + 0,2x

Fíjate en que «el triple de la diferencia entre un número y 4» lleva paréntesis: se resta primero y el resultado se triplica. Sin paréntesis, 3x − 4 diría otra cosa: el triple del número y después restar 4.

Ejemplo. Escribe con símbolos: a) Una libreta cuesta ₡800; ¿cuánto cuestan n libretas? b) Lucía tiene 12 años más que su hermano, que tiene h años. c) El triple de un número, disminuido en 4, es 29: ¿qué número es?

Solución. a) 800 × n, que se escribe 800n. b) La edad de Lucía es h + 12. c) 3x − 4 = 29. Para hallar x se deshace lo que se hizo: 29 + 4 = 33 y 33 ÷ 3 = 11. El número es 11, y se comprueba: 3 × 11 − 4 = 29.

El valor de una expresión#

Una expresión algebraica toma un valor cuando se reemplaza la letra por un número y se hacen las operaciones en su orden: primero paréntesis, luego multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Si quieres repasar ese orden, está en la prioridad de las operaciones.

Ejemplo. Calcula el valor de 2x + 7 cuando x = 6, y el valor de 3(x − 4) cuando x = 10.

Solución. Con x = 6: 2 × 6 + 7 = 12 + 7 = 19. Con x = 10: 3 × (10 − 4) = 3 × 6 = 18.

Dos cantidades que varían al mismo tiempo#

Muchas situaciones tienen dos cantidades que cambian juntas: cuando una cambia, la otra también. Una llave que llena un tanque a razón de 8 litros por minuto es un ejemplo: cuantos más minutos pasan, más litros hay. Si x son los minutos y y los litros, la relación es y = 8x.

x (minutos)	0	1	2	3	4	5
y = 8x (litros)	0	8	16	24	32	40

Cada columna forma una pareja ordenada (x, y): (0, 0), (1, 8), (2, 16)… El orden importa: primero va el valor de x y después el de y.

Otra relación es la de una hermana mayor que tiene 4 años más que el hermano. Si el hermano tiene x años, la hermana tiene y = x + 4. Las parejas (1, 5), (2, 6), (3, 7)… cumplen la relación.

El plano de coordenadas#

El plano de coordenadas permite dibujar esas parejas. Tiene dos rectas numéricas que se cruzan en un punto llamado origen, el (0, 0): el eje horizontal (el de x) y el eje vertical (el de y). En esta lección usamos solo los números positivos y el cero, es decir, la parte de arriba y a la derecha del origen.

Para ubicar el punto (3, 8): parte del origen, avanza 3 unidades a la derecha sobre el eje horizontal y luego 8 unidades hacia arriba. Ahí marcas el punto. El primer número, 3, se llama abscisa y el segundo, 8, ordenada. Hay una ayuda para recordar el orden: primero se camina y después se sube.

Si marcas las parejas de y = 8x, ves que todas quedan alineadas sobre una línea recta que arranca en el origen. Eso ocurre siempre que una cantidad es un múltiplo fijo de la otra. Con y = x + 4 los puntos también quedan alineados, pero la recta ya no sale del origen: cuando x vale 0, y vale 4, y por eso arranca más arriba sobre el eje vertical.

Ejemplo. Para la relación y = x + 4, ¿cuáles de estos puntos la cumplen? A(6, 10), B(3, 8), C(5, 9). Escribe también el punto de la relación cuando x = 0.

Solución. Se cambia x por su valor y se compara con y. A: 6 + 4 = 10, sí la cumple. B: 3 + 4 = 7, no es 8: no la cumple. C: 5 + 4 = 9, sí la cumple. Cuando x = 0, y = 0 + 4 = 4, así que el punto es (0, 4), que está sobre el eje vertical.

Descubrir la relación a partir de los puntos#

A veces tienes los puntos y debes descubrir la regla escondida. Se hace una tabla con las abscisas y las ordenadas, se observa cuánto crece y al pasar de una abscisa a la siguiente y se ajusta con el primer punto.

Ejemplo. Los puntos (1, 5), (2, 8), (3, 11) y (4, 14) cumplen una relación entre x y y. Encuéntrala y calcula el valor de y cuando x = 10.

Solución. Al pasar de un punto al siguiente, x aumenta 1 y y aumenta 3 (5, 8, 11, 14), así que la regla empieza con 3x. Con x = 1, 3 × 1 = 3, pero y = 5: faltan 2. La relación es y = 3x + 2. Se comprueba con (4, 14): 3 × 4 + 2 = 14. Para x = 10: 3 × 10 + 2 = 32.

Ejemplo. Una tienda de ejercicio alquila bicicletas con ₡2 000 fijos más ₡1 000 por hora. Escribe la relación entre las horas x y el costo y, y di qué puntos están en ella: (3, 5 000) y (3, 4 500).

Solución. La relación es y = 1 000x + 2 000. Con x = 3: 1 000 × 3 + 2 000 = 5 000. El punto (3, 5 000) la cumple y el (3, 4 500) no, porque en 3 horas el costo es ₡5 000, no ₡4 500.

Ponte a prueba#

¿Cómo se escribe con símbolos «el quíntuple de un número, disminuido en 6», y cuánto vale si el número es 9?#

¿Cuánto cuestan 7 viajes en bus si cada uno vale ₡650 y la relación es y = 650x?#

¿Cuáles de los puntos (2, 7), (5, 13) y (6, 14) cumplen la relación y = 2x + 3?#

¿Cómo se escribe «un número aumentado en su 20 %» y cuánto vale si el número es 50?#

¿Cómo se ubica en el plano de coordenadas el punto (4, 9)?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)