Sucesiones y patrones con números menores que 1000: el piso de losetas

En el corredor de una escuela van a poner un piso nuevo de losetas. El albañil no las coloca al azar. Sigue un orden que se repite, como en las sucesiones con números menores que 1000, y ese orden se puede encontrar.

Aquí se construyen sucesiones con figuras y con números menores que 1000, y se encuentra su regla en tablas.

Definición

Una sucesión es una fila de figuras o de números que van uno tras otro. A cada elemento de la fila se le llama término. Lo que se repite en cada paso es el patrón, o sea, la regla de la fila.

Patrones con figuras#

La primera hilera del corredor alterna losetas oscuras y claras. Aquí ■ es oscura y □ es clara.

■ □ ■ □ ■ □ ■ □

El patrón es: oscura, clara, oscura, clara. Se repite de dos en dos. Para saber qué sigue, miras el último término. Si fue □, sigue ■.

Ejemplo. Otra hilera sigue este orden: ■ ■ □ ■ ■ □ ■ ■ . ¿Qué loseta sigue?

Solución. El grupo que se repite es ■ ■ □. Las dos últimas losetas son ■ ■, así que el grupo está en su parte final. Falta la clara: sigue □.

Figuras que crecen#

En otra parte del piso, cada fila nueva tiene más losetas que la anterior. Se cuentan los bloques ■ de cada fila.

Fila	Losetas	Cuántas son
1	■■■	3
2	■■■■■	5
3	■■■■■■■	7

De una fila a la siguiente hay 2 losetas más. El patrón es «sumar 2». La fila 4 tendrá 7 + 2 = 9 losetas y la fila 5 tendrá 9 + 2 = 11.

La sucesión de números es 3, 5, 7, 9, 11.

Construir una sucesión con un patrón dado#

A veces te dan el primer término y la regla. Tú construyes la sucesión paso a paso.

Ejemplo. Empieza en 15 y suma 10 cada vez. Escribe 5 términos.

Solución. Primer término: 15. Segundo: 15 + 10 = 25. Tercero: 25 + 10 = 35. Cuarto: 35 + 10 = 45. Quinto: 45 + 10 = 55. La sucesión es 15, 25, 35, 45, 55.

Ejemplo. Empieza en 120 y suma 100 cada vez. Escribe 4 términos.

Solución. Se suma 100 al término anterior: 120, 220, 320, 420. Se ve que solo cambia la cifra de las centenas.

Una buena actividad de clase es que cada estudiante invente una sucesión y se la dé a un compañero para resolverla. Intenta inventar la tuya y comprueba que cada paso siga la misma regla.

Descubrir el patrón#

Ahora te dan los términos y tú buscas la regla. Resta cada término del que sigue. Si la diferencia es siempre la misma, ya tienes el patrón.

Ejemplo. Los números de las cajas de losetas son 4, 8, 12, 16, 20. ¿Cuál es el patrón? ¿Qué número sigue?

Solución. Se comprueba: 8 − 4 = 4, 12 − 8 = 4, 16 − 12 = 4 y 20 − 16 = 4. El patrón es «sumar 4». Sigue 20 + 4 = 24.

Ejemplo. En la sucesión 250, 350, __, 550 falta un número. ¿Cuál es?

Solución. De 250 a 350 hay 100 más. Se suma 100. El término que falta es 350 + 100 = 450. Se comprueba: 450 + 100 = 550.

Cuidado: no toda lista de números es una sucesión con patrón. En 3, 8, 9, 20 no hay una sola regla que sirva para todos los pasos. Aquí la diferencia cambia cada vez.

Patrones en tablas de números#

Una tabla ordena los datos. Cada fila del piso tiene 4 losetas. ¿Cuántas losetas hay en total si se colocan varias filas?

Filas	1	2	3	4	5
Losetas	4	8	12	16	?

Cada fila nueva suma 4 losetas. Para 5 filas hay 16 + 4 = 20 losetas. También se puede multiplicar: 5 × 4 = 20.

Ejemplo. Con la misma tabla, ¿cuántas losetas hay en 8 filas?

Solución. Cada fila tiene 4 losetas y son 8 filas. Se calcula 8 × 4 = 32. Hay 32 losetas. Se puede seguir la tabla: 20, 24, 28 y 32.

Un desafío con dos operaciones#

Algunas sucesiones usan dos operaciones en cada paso. Es un desafío, y se resuelve probando.

Ejemplo. Descubre la regla de 4, 9, 19, 39 y escribe el término que sigue.

Solución. Prueba: 4 × 2 = 8 y 8 + 1 = 9. Luego 9 × 2 = 18 y 18 + 1 = 19. Luego 19 × 2 = 38 y 38 + 1 = 39. La regla es «multiplicar por 2 y sumar 1». Sigue 39 × 2 + 1 = 79.

Ponte a prueba#

¿Cuáles son los primeros cinco términos si empiezas en 20 y sumas 5 cada vez?#

El primero es 20. Luego se suma 5 cada vez: 20 + 5 = 25, 25 + 5 = 30, 30 + 5 = 35 y 35 + 5 = 40. La sucesión es 20, 25, 30, 35, 40.

¿Cuál es el patrón de 7, 14, 21, 28 y qué número sigue?#

Se restan términos vecinos: 14 − 7 = 7, 21 − 14 = 7 y 28 − 21 = 7. El patrón es sumar 7. Sigue 28 + 7 = 35.

¿Cuántas losetas hay en 6 cajas si cada caja trae 8 losetas?#

La tabla sigue 8, 16, 24, 32, 40 y 48. Cada caja suma 8. Con una multiplicación sale igual: 6 × 8 = 48. En 6 cajas hay 48 losetas.

¿Qué número falta en 150, 250, __, 450?#

De 150 a 250 se suman 100. Entonces la regla es sumar 100, y entre 250 y 450 caben dos pasos de 100. El número que falta es 250 + 100 = 350. Se comprueba: 350 + 100 = 450.