Doña Marta atiende la pulpería del barrio. Un cliente pide 2 kilos de arroz y ella cobra ₡2.400. Otro llega y pide 6 kilos. Sin sacar la calculadora, Marta ya sabe que serán ₡7.200. Lo que hizo en la cabeza se puede ordenar con una razón, una proporción y una regla de tres directa.
Cada vez que compras más de algo, pagas más. Pero cuánto más lo responde la proporcionalidad directa.
Definición
Una razón compara dos cantidades por medio de una división y se escribe a : b o a/b. Una proporción es la igualdad de dos razones. Dos cantidades son directamente proporcionales cuando al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número.
La razón: comparar dos cantidades#
En un grupo de sexto hay 12 niñas y 18 niños. La razón entre niñas y niños es 12 : 18. Como las dos cantidades se pueden dividir entre 6, la razón se simplifica a 2 : 3. Quiere decir que por cada 2 niñas hay 3 niños.
El orden importa. La razón de niños a niñas es 3 : 2, que no es lo mismo que 2 : 3. Fíjate qué cantidad nombra primero la pregunta y ponla de primera.
Una razón también puede comparar unidades distintas. Si un bus recorre 150 kilómetros en 3 horas, la razón entre kilómetros y horas es 150 : 3, es decir, 50 kilómetros por hora. Aquí la razón ya es una velocidad.
La proporción: dos razones iguales#
Volvamos al arroz. Dos kilos cuestan ₡2.400 y seis kilos cuestan ₡7.200. Las razones son 2 : 2.400 y 6 : 7.200. Simplifica ambas: las dos se reducen a 1 : 1.200. Como son iguales, se puede escribir la proporción:
2 / 2.400 = 6 / 7.200
Una forma de revisar si dos razones forman una proporción es multiplicar en cruz. Aquí, 2 × 7.200 = 14.400 y 2.400 × 6 = 14.400. Los productos son iguales, así que sí hay proporción.
| Kilos de arroz | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio en colones | 1.200 | 2.400 | 4.800 | 7.200 | 12.000 |
Mira la tabla. Cada precio se obtiene multiplicando los kilos por 1.200. Ese número fijo se llama constante de proporcionalidad: es el precio de un kilo, o sea, lo que cuesta una unidad.
La regla de tres directa#
Regla de tres directa
Si a corresponde a b, y c corresponde a x, entonces a / b = c / x, y se despeja: x = (b × c) ÷ a.
La regla de tres es una proporción donde se desconoce un dato. Se arma una tabla con dos filas, se multiplica en cruz y se divide.
Ejemplo. En la feria del agricultor, 3 kilos de tomate cuestan ₡4.500. ¿Cuánto cuestan 5 kilos?
Solución. Se ordenan los datos: 3 kilos son ₡4.500 y 5 kilos son ₡x. Se multiplica en cruz: 4.500 × 5 = 22.500. Se divide entre 3: 22.500 ÷ 3 = 7.500. Cinco kilos cuestan ₡7.500. Para comprobar, un kilo cuesta ₡1.500 (4.500 ÷ 3), y 5 × 1.500 = 7.500.
Ejemplo. Una receta de gallo pinto para 4 personas lleva 300 gramos de arroz. ¿Cuántos gramos se necesitan para 10 personas?
Solución. 4 personas son 300 g y 10 personas son x g. Entonces x = (300 × 10) ÷ 4 = 3.000 ÷ 4 = 750 gramos.
Ejemplo con una escala. En un mapa, 2 centímetros representan 10 kilómetros. Dos pueblos están a 7 cm en el mapa. 2 cm son 10 km y 7 cm son x km, así que x = (10 × 7) ÷ 2 = 35. Los pueblos están a 35 kilómetros.
Cuándo sí y cuándo no se puede usar#
La regla de tres directa solo sirve cuando las dos cantidades son directamente proporcionales: si una se duplica, la otra también. El precio de las manzanas, los kilómetros recorridos a velocidad constante y los ingredientes de una receta cumplen eso.
Hay situaciones que parecen proporcionales y no lo son. Si Luis tiene 10 años y pesa 35 kilos, a los 20 años no pesará 70. La edad y el peso no crecen en la misma proporción. Tampoco es proporcional el tiempo que tarda un grupo en pintar una pared: con el doble de pintores el trabajo no dura el doble, sino la mitad. Esa es otra relación, la inversa, y se resuelve distinto.
Para decidir, pregúntate: si una cantidad se duplica, ¿la otra se duplica también? Si la respuesta es sí, puedes usar regla de tres directa.
Errores que se repiten#
- Cambiar el orden de la fila. Si en la primera fila pusiste kilos arriba y colones abajo, en la segunda también. Un 5 de kilos nunca se multiplica en cruz con otros kilos.
- Dividir donde se debía multiplicar. En x = (b × c) ÷ a, primero se multiplican los dos datos que están en diagonal y luego se divide entre el que queda solo. Revisa que el resultado tenga sentido: si compras más, pagas más.
- Olvidar simplificar la razón. 12 : 18 y 2 : 3 dicen lo mismo, pero la segunda se compara más fácil.
Para practicar en casa, busca los precios de un recibo del súper y calcula cuánto costaría el doble o la mitad de cada producto. Con dos o tres compras ya le agarrarás el hilo.
Ponte a prueba#
En un salón hay 8 niñas y 12 niños. ¿Cuál es la razón de niñas a niños, simplificada?#
La razón es 8 : 12. Se dividen ambos números entre 4 y queda 2 : 3. Es decir, por cada 2 niñas hay 3 niños.
Si 4 cuadernos cuestan ₡3.200, ¿cuánto cuestan 9 cuadernos?#
Un cuaderno cuesta 3.200 ÷ 4 = ₡800. Nueve cuestan 9 × 800 = ₡7.200. Con regla de tres: x = (3.200 × 9) ÷ 4 = 7.200.
¿Forman una proporción las razones 3/5 y 12/20?#
Sí. Al multiplicar en cruz, 3 × 20 = 60 y 5 × 12 = 60. Los productos son iguales. También se ve porque 12/20 se simplifica a 3/5.
Un carro gasta 6 litros de gasolina en 90 kilómetros. ¿Cuántos litros gasta en 240 kilómetros si el consumo es constante?#
x = (6 × 240) ÷ 90 = 1.440 ÷ 90 = 16 litros. Se multiplica en cruz y se divide entre el dato que quedó solo.
Ana dice que si a los 8 años medía 1,30 m, a los 16 medirá 2,60 m. ¿Por qué el razonamiento falla?#
La estatura no es directamente proporcional a la edad. Una persona no duplica su estatura al duplicar su edad, así que no se puede usar regla de tres directa.
Fuentes#
También en Matemáticas 6ºSexto grado