El grupo de quinto ensaya una obra de teatro en el salón de actos. El piso del escenario tiene baldosas cuadradas, y la maestra pegó una cinta en una esquina: ese será el punto de partida. «Ana, camina 2 cuadros hacia el Este y 1 hacia el Norte», dice. Así de fácil se puede decir dónde está cada persona con solo dos números, como se hace con los puntos del primer cuadrante.
Esos dos números se llaman coordenadas. Con ellas se ubican puntos y se dibujan figuras. Solo usaremos el primer cuadrante, la zona donde todas las coordenadas son cero o mayores que cero.
Definición
Un punto del primer cuadrante se ubica con un par ordenado (x, y). El primer número, x, dice cuántos cuadros hay que avanzar hacia la derecha (el Este) desde el origen. El segundo, y, dice cuántos cuadros hay que subir (hacia el Norte). El origen, de donde se parte, es el punto (0, 0).
Los ejes y el origen#
El piso cuadriculado se imagina con dos rectas numéricas que se cortan en la esquina de la cinta. La recta horizontal es el eje x y la vertical es el eje y. Las dos empiezan en 0. Los números crecen hacia la derecha en el eje x y hacia arriba en el eje y.
Las rectas numéricas ya las conoces; si quieres repasar cómo se ubican los números en una, mira la ubicación en la recta numérica.
Leer y ubicar puntos: primero el Este, después el Norte#
El orden importa. Siempre se escribe primero lo que se avanza a la derecha (x) y después lo que se sube (y). Para ubicar un punto: partes del origen, caminas x cuadros hacia el Este y luego y cuadros hacia el Norte.
Ejemplo. En el ensayo, Ana está en (2, 1), Beto en (7, 1), Carla en (7, 4) y Dani en (2, 4). Describe dónde está cada una y cada uno.
Solución. Ana: 2 cuadros al Este y 1 al Norte. Beto: 7 al Este y 1 al Norte. Carla: 7 al Este y 4 al Norte. Dani: 2 al Este y 4 al Norte.
| Persona | x (Este) | y (Norte) | Par ordenado |
|---|---|---|---|
| Ana | 2 | 1 | (2, 1) |
| Beto | 7 | 1 | (7, 1) |
| Carla | 7 | 4 | (7, 4) |
| Dani | 2 | 4 | (2, 4) |
Un error muy común es cambiar el orden. El punto (4, 2) está 4 cuadros al Este y 2 al Norte; el punto (2, 4) está 2 al Este y 4 al Norte. Son lugares distintos.
Puntos sobre los ejes#
Si un punto está sobre el eje x, no se ha subido nada: su y vale 0. Si está sobre el eje y, no se ha avanzado a la derecha: su x vale 0.
Ejemplo. La puerta del escenario está en el eje x, a 4 cuadros del origen. La ventana pintada en el telón está en el eje y, a 6 cuadros del origen. ¿Qué par ordenado tiene cada una?
Solución. La puerta está en (4, 0), porque avanza 4 y no sube. La ventana está en (0, 6), porque no avanza y sube 6.
Figuras a partir de sus vértices#
Si unes con líneas rectas los puntos de una lista, en el orden en que aparecen, y cierras el último con el primero, dibujas una figura. Los puntos son sus vértices.
Un rectángulo#
Los cuatro puntos del ensayo, (2, 1), (7, 1), (7, 4) y (2, 4), forman un rectángulo. Los dos de abajo tienen la misma y (1) y los dos de arriba también (4). Los de la izquierda tienen la misma x (2) y los de la derecha también (7). Su base mide 7 − 2 = 5 cuadros y su altura mide 4 − 1 = 3 cuadros. Entonces su perímetro es 2 · (5 + 3) = 16 y su área es 5 · 3 = 15 unidades cuadradas.
Un triángulo#
| Vértice | Par ordenado |
|---|---|
| A | (1, 1) |
| B | (7, 1) |
| C | (4, 5) |
Como A y B comparten la y, el lado AB es horizontal y mide 7 − 1 = 6. El punto C está a 5 − 1 = 4 cuadros por encima de ese lado. El triángulo tiene base 6 y altura 4, y su área es (6 · 4) : 2 = 12 unidades cuadradas.
Un paralelogramo#
Los puntos (1, 2), (5, 2), (7, 5) y (3, 5) forman un paralelogramo. Para ir de (1, 2) a (3, 5) se avanzan 2 y se suben 3, y para ir de (5, 2) a (7, 5) también: los lados inclinados son paralelos. La base mide 5 − 1 = 4 y la altura mide 5 − 2 = 3, así que su área es 4 · 3 = 12 unidades cuadradas.
Completar una figura: el vértice que falta#
Ejemplo. Tres vértices de un rectángulo son (3, 2), (8, 2) y (8, 6). ¿Cuál es el cuarto vértice?
Solución. Los dos primeros tienen y = 2, así que forman el lado de abajo. Los dos últimos tienen x = 8, así que forman el lado derecho. El cuarto vértice queda arriba a la izquierda: usa la x del primero (3) y la y del tercero (6). Es (3, 6).
En un rectángulo con los lados paralelos a los ejes, cada vértice toma su x de un lado y su y del otro. Comprueba siempre que los lados opuestos queden con la misma medida.
Ponte a prueba#
¿Qué par ordenado tiene el punto que está 3 cuadros al Este y 5 al Norte del origen, y en qué se diferencia de (5, 3)?#
Es (3, 5): x vale 3 porque se avanzan 3 a la derecha, y y vale 5 porque se suben 5. El punto (5, 3) es otro lugar: está 5 al Este y 3 al Norte. En un par ordenado importa el orden de los números.
¿Cuál es el cuarto vértice de un rectángulo con vértices (2, 2), (9, 2) y (9, 6), y qué medidas tienen su perímetro y su área?#
El cuarto vértice es (2, 6). La base mide 9 − 2 = 7 y la altura 6 − 2 = 4. Perímetro: 2 · (7 + 4) = 22. Área: 7 · 4 = 28 unidades cuadradas.
¿Cuál es el área del triángulo con vértices (2, 1), (8, 1) y (5, 6)?#
Los dos primeros puntos tienen y = 1, así que la base va de x = 2 a x = 8 y mide 6. El tercer punto está 6 − 1 = 5 cuadros más arriba, así que la altura mide 5. El área es (6 · 5) : 2 = 15 unidades cuadradas.
¿Cuánto vale la y de un punto sobre el eje x, y cuánto vale la x de un punto sobre el eje y?#
Sobre el eje x no se sube nada, así que y vale 0; un ejemplo es (6, 0). Sobre el eje y no se avanza a la derecha, así que x vale 0; por ejemplo, (0, 4).
¿Cuáles son los vértices de un cuadrado de 4 cuadros de lado si su vértice inferior izquierdo es (3, 2)?#
Hacia la derecha se suman 4 a la x: (7, 2). Hacia arriba se suman 4 a la y: (3, 6). El vértice opuesto toma las dos cosas: (7, 6). Los cuatro vértices son (3, 2), (7, 2), (7, 6) y (3, 6).
Fuentes#
También en Matemáticas 5ºQuinto grado