El principio de Arquímedes y la fuerza de empuje

Al meterte en una piscina te sientes más liviano; un barco de acero de miles de toneladas flota, pero un clavo se hunde; un globo de aire caliente sube sin motor. Todo eso se explica con el principio de Arquímedes y la fuerza de empuje, dos ideas de la hidrostática que el programa de Física del MEP pide aplicar en la solución de problemas.

En esta lección vas a ver de dónde sale el empuje, cómo se calcula, cómo decidir si un cuerpo flota o se hunde comparando densidades y cómo se aplica a barcos, submarinos y globos. Se usan la densidad (ρ = m / V), la presión hidrostática (P = ρ · g · h) y g = 9,8 m/s², valor redondeado de la aceleración normal de la gravedad (9,806 65 m/s²).

De dónde sale la fuerza de empuje#

El empuje no es una fuerza misteriosa: es el resultado de la presión del fluido. Como la presión aumenta con la profundidad, la cara de abajo de un cuerpo sumergido recibe más presión que la de arriba. Las fuerzas sobre los costados se anulan entre sí, pero la de abajo le gana a la de arriba, y la diferencia es una fuerza neta hacia arriba.

Ejemplo. Un cubo de 0,10 m de lado está sumergido en agua, con su cara superior a 0,20 m de profundidad. Calcula las fuerzas del agua sobre la cara superior y la inferior, y la fuerza neta.

Solución. Cada cara mide A = 0,10 · 0,10 = 0,010 m². Arriba, la presión del agua es 1000 · 9,8 · 0,20 = 1960 Pa y la fuerza es 1960 · 0,010 = 19,6 N hacia abajo. Abajo, a 0,30 m, la presión es 1000 · 9,8 · 0,30 = 2940 Pa y la fuerza es 29,4 N hacia arriba. La fuerza neta es 29,4 − 19,6 = 9,8 N hacia arriba. Es justo el peso del agua desalojada: ρ · g · V = 1000 · 9,8 · 0,0010 = 9,8 N.

El empuje no depende de la profundidad a la que está el cuerpo, siempre que esté completamente sumergido: si se baja el cubo, las dos fuerzas aumentan en la misma cantidad y su diferencia no cambia.

La fórmula del empuje y el peso aparente#

Fíjate en que el empuje depende de la densidad del fluido y del volumen sumergido, no de la masa del cuerpo. Una piedra y una bola de plástico del mismo volumen, ambas bajo el agua, reciben el mismo empuje.

Ejemplo. Una piedra de 2,0 kg tiene un volumen de 8,0 × 10⁻⁴ m³. ¿Cuál es su peso, qué empuje recibe totalmente sumergida en agua y cuál es su peso aparente?

Solución. El peso es W = m · g = 2,0 · 9,8 = 19,6 N. El empuje es E = 1000 · 9,8 · 8,0 × 10⁻⁴ = 7,84 N. El peso aparente es 19,6 − 7,84 = 11,76 N. Por eso, dentro del agua, una piedra se siente más liviana.

Ejemplo. Un objeto colgado de un dinamómetro marca 5,4 N en el aire y 3,4 N totalmente sumergido en agua. Calcula su volumen y su densidad.

Solución. El empuje es la diferencia: E = 5,4 − 3,4 = 2,0 N. De E = ρ_agua · g · V se despeja V = 2,0 ÷ (1000 · 9,8) ≈ 2,04 × 10⁻⁴ m³. La masa es m = 5,4 ÷ 9,8 ≈ 0,551 kg, y la densidad, ρ = m / V = 2700 kg/m³. Hay un atajo: ρ = ρ_agua · W / E = 1000 · 5,4 ÷ 2,0 = 2700 kg/m³, casi la densidad del aluminio (2699 kg/m³ según el NIST).

Flotar o hundirse: la comparación de densidades#

Un cuerpo totalmente sumergido recibe un empuje ρ_f · g · V y tiene un peso ρ_c · g · V, donde ρ_c es su densidad. Como el volumen y g son los mismos, basta comparar densidades:

Comparación	Qué ocurre
ρc > ρf	El peso supera al empuje: el cuerpo se hunde.
ρc = ρf	Peso y empuje se igualan: el cuerpo queda en equilibrio dentro del fluido.
ρc < ρf	El empuje supera al peso: el cuerpo sube y flota con una parte afuera.

Cuando un cuerpo flota, el empuje iguala su peso: ρ_f · V_s = ρ_c · V. De ahí sale la fracción que queda sumergida:

Ejemplo. Un bloque de madera de 0,0020 m³ y densidad 600 kg/m³ flota en agua. ¿Qué fracción queda sumergida y cuál es el empuje?

Solución. La fracción sumergida es 600 ÷ 1000 = 0,60, es decir, el 60 %. El volumen sumergido es 0,60 · 0,0020 = 0,0012 m³. El empuje iguala al peso: E = 600 · 9,8 · 0,0020 = 11,76 N, que coincide con 1000 · 9,8 · 0,0012 = 11,76 N.

Con esta idea se explica el hielo. El USGS (Servicio Geológico de los Estados Unidos) indica que la densidad del hielo es cerca del 90 % de la del agua; por eso un cubito o un témpano flotan con alrededor del 90 % de su volumen bajo el agua. También se entiende el experimento del programa del MEP con líquidos en capas: cada sólido atraviesa los líquidos menos densos que él y queda flotando sobre el primero cuya densidad supera a la suya.

Barcos, submarinos y el «diablillo» de la botella#

Según el NIST, la densidad del hierro es 7874 kg/m³, casi ocho veces la del agua: un bloque macizo se hunde. Un barco flota porque su casco es hueco y, con el aire que contiene, su densidad promedio (masa total entre volumen total) es menor que la del agua. Al cargarlo, se hunde más y desaloja más agua, hasta que el empuje iguala el nuevo peso.

Ejemplo. Una lancha de 1200 kg puede desalojar como máximo 4,0 m³ de agua dulce antes de que el agua entre por la borda. ¿Cuánta carga puede llevar?

Solución. El empuje máximo es E = 1000 · 9,8 · 4,0 = 39 200 N, que sostiene una masa total de 39 200 ÷ 9,8 = 4000 kg. Restando la lancha: 4000 − 1200 = 2800 kg de carga como máximo.

Un submarino o un pez que regula su flotación cambia su densidad promedio. El programa del MEP propone verlo con un «diablillo»: un palito de fósforo mascado dentro de una botella llena de agua. Al apretar la botella, la presión aumenta, el gas atrapado en el palito se comprime, su volumen baja, su densidad sube y el palito se hunde; al soltar, el gas se expande y el palito sube.

El empuje también existe en el aire#

El aire es un fluido, así que también empuja. Según el NIST, el aire seco cerca del nivel del mar tiene una densidad de 1,205 kg/m³. Un globo aerostático sube porque el aire caliente de adentro es menos denso que el aire frío de afuera; para bajar, el piloto deja que se enfríe.

Ejemplo. Un globo aerostático tiene 2000 m³ de volumen. Supón que el aire caliente de adentro tiene una densidad de 1,0 kg/m³. ¿Qué masa máxima pueden tener la tela, la canasta y los pasajeros?

Solución. El empuje del aire exterior es E = 1,205 · 9,8 · 2000 = 23 618 N. El aire caliente pesa 1,0 · 9,8 · 2000 = 19 600 N. Quedan 23 618 − 19 600 = 4018 N para el resto, que equivalen a 4018 ÷ 9,8 = 410 kg.

Ponte a prueba#

¿Qué empuje recibe un objeto de 0,0050 m³ totalmente sumergido en agua?#

¿Flota o se hunde en agua un bloque de 3,0 kg que ocupa 0,0040 m³, y qué parte queda sumergida?#

¿Cuál es la densidad de un objeto que pesa 12 N en el aire y 8,0 N sumergido en agua?#

¿Por qué flota un barco de acero si el hierro es casi ocho veces más denso que el agua?#

¿Qué fracción de un trozo de polietileno queda sumergida cuando flota en agua?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de Estudio de Física, Educación Diversificada (PDF)
• NIST — CODATA: aceleración normal de la gravedad (standard acceleration of gravity)
• NIST — Densidades de elementos: hierro y aluminio (tabla 1)
• NIST — Densidades de materiales: aire seco, agua, polietileno (tabla 2)
• USGS — Water Density (el hielo es menos denso que el agua)
• USGS — Ninety percent of an iceberg is below the waterline