En la escuela van a embaldosar el piso del salón de actos con baldosas cuadradas. Hay 5 filas y en cada fila caben 5 baldosas. Para saber cuántas se necesitan multiplicas 5 × 5 = 25. Si en lugar de un piso fuera una caja de 5 por 5 por 5 cubitos, la cuenta sería 5 × 5 × 5 = 125. Cuando un mismo número se multiplica por sí mismo varias veces, la matemática tiene una manera corta de escribirlo: las potencias, y las más cómodas son las potencias de base 10.
Definición
Una potencia es una multiplicación de factores iguales. En 3⁴, el 3 es la base (el número que se repite) y el 4 es el exponente (cuántas veces se repite). Entonces 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
Escribir un producto como potencia#
Mira el producto 2 × 2 × 2 × 2 × 2. El 2 aparece cinco veces, así que se escribe 2⁵. Y se lee «dos a la quinta» o «dos elevado a la quinta potencia».
Otros ejemplos:
- 7 × 7 × 7 = 7³ (siete a la tercera)
- 10 × 10 = 10²
- 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁴
Se puede ir en sentido contrario. 6³ significa 6 × 6 × 6 = 216. Para calcularlo se hace por pasos: 6 × 6 = 36 y luego 36 × 6 = 216.
El error más repetido en sexto grado es este: creer que 2³ es 2 × 3. No lo es. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, mientras que 2 × 3 = 6. El exponente dice cuántas veces escribir la base, no por cuánto multiplicarla.
Cuadrados y cubos#
Al exponente 2 se le llama cuadrado y al exponente 3, cubo. El nombre viene de la geometría: el área de un cuadrado de lado 5 cm es 5² = 25 cm², y el volumen de un cubo de arista 5 cm es 5³ = 125 cm³.
Estos son los cuadrados perfectos que conviene saber de memoria:
| Número | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cuadrado | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Y los primeros cubos perfectos:
| Número | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cubo | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 1 000 |
Fíjate en que 64 aparece en las dos tablas: 8² = 64 y 4³ = 64.
Ejemplo. Un terreno cuadrado mide 12 m de lado. ¿Cuál es su área?
Solución. Área = 12² = 12 × 12 = 144 m².
Ejemplo. Una caja con forma de cubo mide 3 dm de arista. ¿Cuántos cubitos de 1 dm de arista caben?
Solución. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 cubitos. Son 3 capas de 9.
Potencias de base 10#
Las potencias de 10 son las más fáciles de calcular, porque el exponente dice cuántos ceros lleva el resultado:
| Potencia | Producto | Número |
|---|---|---|
| 10¹ | 10 | 10 |
| 10² | 10 × 10 | 100 |
| 10³ | 10 × 10 × 10 | 1 000 |
| 10⁴ | 10 × 10 × 10 × 10 | 10 000 |
| 10⁵ | 100 000 | |
| 10⁶ | 1 000 000 |
Ya ves el patrón: 10⁶ es un 1 seguido de seis ceros, un millón. Cuando alguien dice «cinco millones de colones» y lo escribe 5 × 10⁶, está usando justo eso.
Números con potencias de 10#
Con las potencias de 10 se pueden escribir los números redondos de forma corta, y también descomponer los números por el valor de cada cifra.
Ejemplo. Escribe 30 000 con una potencia de 10.
Solución. 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 10⁴.
Ejemplo. Un estadio tiene capacidad para 35 000 personas. Exprésalo con potencias de 10.
Solución. 35 000 = 3 × 10 000 + 5 × 1 000 = 3 × 10⁴ + 5 × 10³.
Ejemplo. ¿Qué número es 4 × 10³ + 2 × 10² + 7 × 10?
Solución. 4 000 + 200 + 70 = 4 270.
Esto es lo mismo que haces cuando lees la tabla de valor posicional, solo que ahora cada posición se escribe como una potencia de 10: las unidades de millar son 10³, las centenas 10², las decenas 10¹.
Cómo evitar los errores de siempre#
- Confundir 2⁵ con 2 × 5. Escribe siempre la multiplicación completa la primera vez: 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
- Pensar que 10³ = 30. Son tres factores de 10, o sea 1 000.
- Contar mal los ceros en 10⁵. Cuenta el exponente: cinco ceros, 100 000.
- Olvidar que un número elevado a la 1 es el mismo número: 9¹ = 9.
Para practicar en casa, pídele a alguien que te diga una base y un exponente al azar (por ejemplo, 3 y 4) y calcula el resultado por pasos: 3 × 3 = 9, 9 × 3 = 27, 27 × 3 = 81. En diez minutos de práctica ya vas a reconocer cuadrados y cubos sin pensar.
Ponte a prueba#
Escribe 5 × 5 × 5 × 5 como potencia y calcula su valor.#
El 5 se repite cuatro veces, así que es 5⁴. Se calcula por pasos: 5 × 5 = 25, 25 × 5 = 125 y 125 × 5 = 625.
¿Cuál es la diferencia entre 4³ y 4 × 3?#
4³ = 4 × 4 × 4 = 64, porque el exponente indica cuántas veces se repite la base. En cambio 4 × 3 = 12. Son resultados muy distintos.
Un patio cuadrado mide 9 m de lado. ¿Cuál es su área y cuántos cuadrados perfectos conoces entre 1 y 100?#
El área es 9² = 81 m². Los cuadrados perfectos entre 1 y 100 son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100: son diez.
Escribe 7 000 000 con una potencia de 10.#
Un millón es 10⁶, y 7 000 000 es siete millones, así que 7 000 000 = 7 × 10⁶.
¿Qué número representa 6 × 10⁴ + 3 × 10²?#
6 × 10⁴ = 60 000 y 3 × 10² = 300. La suma es 60 300.
Fuentes#
También en Matemáticas 6ºSexto grado