Doña Marta, la de la pulpería, quiere armar bolsitas con 24 galletas para la actividad de la escuela. Todas las bolsitas deben llevar la misma cantidad y no puede sobrar ninguna galleta. Prueba con 2 galletas por bolsita: salen 12 bolsitas. Con 3, salen 8. Con 5 no se puede, porque sobran 4. Sin darse cuenta, doña Marta está buscando los divisores de 24, justo lo que te permite distinguir los números primos y compuestos.
De eso se trata este tema: cuándo un número entra exacto dentro de otro, cuáles números no se pueden partir de ninguna manera y cómo desarmar cualquier número en sus piezas más pequeñas.
Definición
Un número es divisible entre otro cuando la división es exacta, sin residuo. Si 24 ÷ 6 = 4 exacto, entonces 6 es divisor (o factor) de 24 y 24 es múltiplo de 6.
Múltiplos y divisores#
Los múltiplos de un número salen de multiplicarlo por 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, y así sin parar. Siempre hay infinitos.
Los divisores, en cambio, son pocos. Para encontrar todos los de 24 se prueban los números en orden y se anotan en pareja:
- 1 × 24
- 2 × 12
- 3 × 8
- 4 × 6
Los divisores de 24 son entonces 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Fíjate en que el 1 y el propio número siempre están en la lista. Y a los divisores también se les llama factores, porque son los números que multiplicados dan 24.
Mucha gente confunde múltiplo con divisor. Un truco: los múltiplos son iguales o más grandes que el número (6, 12, 18…) y los divisores son iguales o más pequeños (1, 2, 3, 6).
Criterios de divisibilidad#
Probar todas las divisiones cansa. Por suerte hay reglas rápidas para saber, sin dividir, si un número es divisible entre otro:
| Divisible entre | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| 2 | Termina en 0, 2, 4, 6 u 8 | 358 sí, 357 no |
| 3 | La suma de sus cifras es divisible entre 3 | 57: 5 + 7 = 12, sí |
| 5 | Termina en 0 o en 5 | 465 sí, 466 no |
| 9 | La suma de sus cifras es divisible entre 9 | 738: 7 + 3 + 8 = 18, sí |
| 10 | Termina en 0 | 2 340 sí, 2 345 no |
Ejemplo. ¿Es 1 260 divisible entre 2, 3, 5 y 10?
Solución. Termina en 0, así que lo es entre 2, 5 y 10. Sus cifras suman 1 + 2 + 6 + 0 = 9, que es divisible entre 3 (y entre 9). Entonces es divisible entre 2, 3, 5 y 10.
Números primos y compuestos#
Primo y compuesto
Un número natural mayor que 1 es primo si tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. Si tiene más de dos divisores, es compuesto. El 1 no es primo ni compuesto, porque solo tiene un divisor.
El 7 es primo: solo se divide exacto entre 1 y 7. El 9 es compuesto: se divide entre 1, 3 y 9. El 2 es el único primo par, porque todos los demás pares se pueden partir entre 2 y entonces ya tienen tres divisores o más.
Un error muy común es creer que todo número impar es primo. El 9, el 15, el 21 y el 91 son impares y compuestos (91 = 7 × 13).
La criba de Eratóstenes#
Eratóstenes, un sabio griego de hace más de dos mil años, inventó una forma de encontrar los primos sin dividir nada. Se hace sobre una tabla del 1 al 100:
- Tacha el 1, que no es primo.
- Encierra el 2 y tacha todos sus múltiplos (4, 6, 8, 10…).
- Encierra el 3 y tacha sus múltiplos (6, 9, 12, 15…). Algunos ya estaban tachados.
- El siguiente sin tachar es el 5. Encérralo y tacha sus múltiplos.
- Haz lo mismo con el 7. No hace falta seguir con el 11, porque 11 × 11 = 121 ya se pasa de 100.
Lo que queda sin tachar son los primos hasta 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Son 25 en total. Pega la tabla en la pared del cuarto y hazla tú con lápices de colores; se aprende mucho más tachando que mirando.
Descomposición en factores primos#
Todo número compuesto se puede escribir como una multiplicación de primos, y de una sola manera. Para lograrlo se divide entre el primo más pequeño que se pueda, una y otra vez, hasta llegar a 1.
Ejemplo. Descompón 60.
Solución.
| Número | Primo que lo divide | Resultado |
|---|---|---|
| 60 | 2 | 30 |
| 30 | 2 | 15 |
| 15 | 3 | 5 |
| 5 | 5 | 1 |
Entonces 60 = 2 × 2 × 3 × 5, que también se escribe con potencias: 60 = 2² × 3 × 5.
Ejemplo. Descompón 84. Se divide entre 2 dos veces (84 → 42 → 21), luego entre 3 (21 → 7) y por último entre 7. Resultado: 84 = 2² × 3 × 7.
Para comprobar, multiplica de vuelta: 4 × 3 × 7 = 84. Si no da el número original, hay un error en algún paso.
Errores frecuentes#
- Decir que el 1 es primo. No lo es.
- Dejar un factor compuesto en la descomposición, como 60 = 6 × 10. Eso no está terminado: 6 y 10 todavía se pueden partir.
- Olvidar el criterio del 3 y probar divisiones largas. Suma las cifras primero.
- Tachar mal en la criba: se tachan los múltiplos del primo, nunca el primo mismo.
Ponte a prueba#
¿Cuáles son todos los divisores de 36?#
Se prueban en parejas: 1 × 36, 2 × 18, 3 × 12, 4 × 9 y 6 × 6. Los divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36. El 6 aparece una sola vez, aunque se repita en la pareja.
¿Es 91 un número primo? Justifica.#
No. Es impar, pero 91 = 7 × 13, así que tiene al menos los divisores 1, 7, 13 y 91. Tiene más de dos divisores, entonces es compuesto.
Sin dividir, ¿es 4 275 divisible entre 3? ¿Y entre 5?#
Sus cifras suman 4 + 2 + 7 + 5 = 18, que es divisible entre 3, así que sí. Termina en 5, así que también es divisible entre 5.
Descompón 72 en factores primos.#
72 → 36 → 18 → 9 → 3 → 1, dividiendo entre 2, 2, 2, 3 y 3. Resultado: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3².
En la criba de Eratóstenes hasta 100, ¿por qué basta con tachar los múltiplos de 2, 3, 5 y 7?#
Porque el siguiente primo es 11 y 11 × 11 = 121 se pasa de 100. Cualquier compuesto menor que 100 tiene un factor primo menor o igual que 7, así que ya quedó tachado.
Fuentes#
También en Matemáticas 6ºSexto grado