El Paralelogramo se definir en el campo de la geometría como un cuadrilátero. El cual posee dos lados que son paralelos de igual medida y que son opuestos uno del otro. Por tanto, al hacer la anterior afirmación, se puede asegurar que los ángulos internos son congruentes, según se indica en el postulado paralelo.

También conocido como el quinto postulado de Eucicles, por ocupar el quinto puesto en el Libro de “Los Elementos”. Escrito en el año 300 A.C. por Eucicles, un famoso matemático griego, en su quinto postulado indica que:

“Si una recta incide con otras dos rectas y esto hace que los ángulos internos del mismo lado menores que los ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos”.

Las Clases de Paralelogramos

Dentro de las figuras geométricas podemos encontrar los siguientes ejemplos que se ajustan a las características de un paralelogramo.

• Cuadrado: Posee sus cuatro lados con una misma medida, de esta manera sus cuatro ángulos internos son rectos.
• Rectángulo: Posee cuatro lados, dos pares de lados opuestos, un par de mayor medida que el otro. Sin embargo, al igual que con el cuadrado posee sus cuatros ángulos rectos.
• Rombo: Al igual que el cuadrado, posee sus cuatro lados de la misma medida. Pero con la diferencia que posee dos ángulos congruentes, debido a la posición de los lados.
• Romboide: Tradicionalmente un romboide es un cuadrilátero, que no se identifica como rectángulo o un rombo. Posee solo dos pares de ángulos congruentes y dos lados opuestos.

Según la matemática moderna el termino del Romboide, actualmente ya no se utiliza más.

Las Propiedades de un Paralelogramo

Muchas de las propiedades que se presentan en un paralelogramo, se da según las características propias dadas en la geometría.

• Por su definición.
  • Al definirse como un cuadrilátero, se asume que posee cuatro lados, cuatro ángulos internos y cuatro vértices.
  • En un paralelogramo sus lados opuestos son paralelos.
  • Cumple con todas las propiedades presentes en los cuadriláteros.
  • Siempre sus lados opuestos poseen la misma medida.
  • La suma de todos sus ángulos internos siempre será de 360°.
  • En dos vértices contiguos, la suma de sus ángulos será de 180°.
  • Una recta secante que corte un paralelogramo, no lo hará en más de dos puntos.
  • Son convexos.
  • En total del área existente en un paralelogramo será el doble del área que se presente en un triangulo formado por las diagonales de los lados contiguos.
  • El baricentro de un paralelogramo, es también el centro del mismo.
  • Si una recta secante corta el paralelogramo a la mitad, sus partes serán iguales.
• Por sus diferentes aplicaciones.
  • Su forma no se degenera por cualquier transformación afín. Sin embargo, también existen un sin fin de transformaciones que lo pueden cambiar.
  • En caso de una rotación, el paralelogramo siempre conserva su tamaño y forma.
  • Es posible que se de un homeomorfismo (se da cuando una forma es biyectiva, inversa y continua) entre una circunferencia y un paralelogramo.
• Por su construcción mediante vectores.
  • Se da cuando el área de igual magnitud del producto vectorial (operación binaria que se da entre dos vectores, en un determinado espacio tridimensional).

Otras Propiedades en un Paralelogramo

• Al ser sus lados opuestos paralelos, estos no se cruzan nunca.
• Un triangulo realizado por una diagonal en su figura, siempre es la mitad del área de un paralelogramo.
• Una línea que biseca el área de un paralelogramo, debe pasar por su punto medio.
• Si posee dos líneas con simetría de reflexión se indica que debe ser un oblongo (rectángulo no cuadrado) o un rombo. Por otra parte, si posee cuatro líneas de simetría de reflexión, estamos hablando de un cuadrado.
• Para calcular su perímetro se utiliza la fórmula 2(a+b), donde a y b corresponden a la longitud de los lados adyacentes.
• Las diferentes diagonales en un paralelogramo lo dividen en un total de cuatro triángulos, los cuales poseen igual área.

Las Fórmulas de los Paralelogramos

La manera más simple de aplicar las fórmulas para definir el área en un paralelogramo, es la de dividir la figura en otras más sencillas de definir. Por ejemplo, se puede tomar la figura del paralelogramo y segmentarla en un triángulo rectángulo y un trapezoide. También se podría asumir la forma de un rectángulo, tomando la medida de sus lados, si estos cumplen con las características de un rectángulo, usando la formula de base por altura (b.h).

Algunas formulas que se aplican para los paralelogramos son especificas para ellos. Sin embargo, todas las formulas que se aplican a los cuadriláteros convexos, son aplicables a los paralelogramos. Las siguientes son algunas de las formulas aplicables a los paralelogramos.

La Regla del Paralelogramo

Cuando un paralelogramo es atravesado por dos diagonales, se aplica la llamada regla del paralelogramo. En la cual se indica que, al sumar los cuatro lados de la longitud del paralelogramo, su resultado es igual al de la suma de las longitudes de las diagonales.

Si la representamos según la notación matemática se podría representar de la siguiente manera, tomando en cuenta que según la imagen A, B, C y D representan a los vértices.

(AB) ² + (BC)² + (CD)² + (DA)² = (AC)² + (BD)²

O de una manera más simplificada:  2. ((AB) ²+(BC) ²) = 2. ((CD) ²+(DA) ²) = (AC) ²+(BD) ²

Las Diagonales que se Bisecan en el Paralelogramo

Si utilizamos las propiedades de los triángulos congruentes, se podría demostrar que las diagonales se bisecan entre sí, en un paralelogramo. Tomando como apoyo la siguiente figura se pondrá a prueba que las diagonales se bisecan.

• Las diagonales BD y AC se bisecan en el punto del centro, en este caso el punto E.
• AC y BD al dividirse en segmentos con igual medida, sus diagonales se bisecan.
• Separando el paralelogramo en los triángulos CDE y ABE se puede decir que son congruentes y por tanto AE=CE y BE=DE.
• Se considera que DC posee la misma medida que AB, al considerar que los lados opuestos siempre tienen la misma longitud.
• Los ángulos internos alternos poseen la misma medida, ABE = CDE o BAE = DCE.

Los Paralelogramos que Aparecen en otras Figuras Geométricas