Múltiplos, divisores, números pares e impares en quinto grado

Cuando en el recreo hay que formar equipos, a veces todos quedan completos y a veces sobra alguien. Cuando el bus de la escuela pasa cada ciertos minutos, hay horas en que coincide con otro. Detrás de esas situaciones hay números que se llevan bien con otros: son sus múltiplos y sus divisores. Y detrás de la pregunta «¿se pueden hacer parejas sin que sobre nadie?» están los números pares e impares.

En esta lección vas a reconocer números pares e impares, a escribir los múltiplos de un número, a hallar la lista completa de divisores de un número natural y a usar esas ideas para resolver problemas.

Números pares e impares#

Imagina 14 estudiantes que quieren hacer parejas para una dinámica. Se forman 7 parejas y no sobra nadie, así que 14 es par. Si llegan 15, se forman 7 parejas y una persona se queda sin compañero: 15 es impar. Los números pares son los que se pueden dividir entre 2 con residuo 0; los impares dejan residuo 1.

Para saber si un número es par o impar, solo mira la última cifra. Los que terminan en 0, 2, 4, 6 o 8 son pares; los que terminan en 1, 3, 5, 7 o 9, impares. Así, 3906 es par aunque tenga muchas cifras, y 12 479 es impar. El cero es un número par: 0 ÷ 2 = 0, sin residuo.

Los pares e impares se comportan de forma muy regular cuando se suman o se multiplican. Puedes comprobarlo con ejemplos y usarlo para ahorrar cuentas:

Operación	Resultado	Ejemplo
par + par	par	18 + 6 = 24
impar + impar	par	7 + 9 = 16
par + impar	impar	10 + 5 = 15
par × cualquier natural	par	4 × 7 = 28
impar × impar	impar	5 × 9 = 45

Ejemplo. Sin hacer la suma, ¿el resultado de 4827 + 3561 es par o impar?

Solución. Los dos sumandos terminan en 7 y en 1, así que ambos son impares. Una suma de dos impares es un número par. El resultado es par. Si haces la cuenta, sale 8388, que termina en 8 y lo confirma.

Múltiplos: la tabla que no termina#

Los múltiplos de un número son los que aparecen cuando lo multiplicas por 1, 2, 3, 4… Los múltiplos de 8, por ejemplo, empiezan con 8 y 16, siguen con 24 y 32, luego 40, 48 y así sin parar, porque siempre puedes multiplicar por un número mayor. Cada uno es el anterior más 8.

Todo número es múltiplo de sí mismo (8 × 1 = 8). Además, los múltiplos de 2 son exactamente los números pares. Si un número es múltiplo de otro, la división entre ellos es exacta: 56 es múltiplo de 8 porque 56 ÷ 8 = 7.

Ejemplo. Escribe los múltiplos de 8 que hay entre 50 y 100.

Solución. Contando de 8 en 8 desde el 40 se llega a 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96 y 104. Los que están entre 50 y 100 son 56, 64, 72, 80, 88 y 96. En total hay 6.

Una adivinanza con múltiplos#

Los problemas de adivinanza son una buena manera de practicar. Ejemplo: «Soy un número de tres cifras, múltiplo de 25 e impar. Mi cifra de las centenas es 4 y mi cifra de las decenas es 7. ¿Qué número soy?».

Ejemplo. Resuelve la adivinanza anterior.

Solución. Los múltiplos de 25 terminan en 00, 25, 50 o 75. Como el número es impar, termina en 25 o en 75. La cifra de las decenas es 7, así que termina en 75. Con la centena 4, el número es 475. Se comprueba: 475 ÷ 25 = 19, una división exacta.

Divisores: los números que dividen exacto#

Un divisor de 45 es cualquier número por el que puedes dividir 45 sin que sobre nada. Una manera ordenada de encontrarlos es probar uno por uno, desde el 1, y anotar las parejas que se forman: cada vez que la división es exacta, aparecen dos divisores a la vez, el que probaste y el cociente.

Pruebo con	Cociente exacto	Pareja de divisores
1	45	1 y 45
2	no es exacta	—
3	15	3 y 15
4	no es exacta	—
5	9	5 y 9
6	no es exacta	—
7	no es exacta	—
8	no es exacta	—

Se deja de probar cuando el número que sigue ya apareció como divisor. Aquí, después de la pareja 5 y 9, el 6, el 7 y el 8 no sirven, y el siguiente número, el 9, ya está en la lista: todas las parejas ya aparecieron. Los divisores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15 y 45. Son seis.

Fíjate en la relación entre múltiplos y divisores: 45 es múltiplo de 5, y 5 es divisor de 45. Son dos maneras de mirar la misma multiplicación, 5 × 9 = 45. Además, el 1 es divisor de todos los números y todo número es divisor de sí mismo. Un número impar, como el 45, nunca tiene divisores pares, porque si fuera divisible entre 2 sería par.

Ejemplo. Don Luis tiene 54 mangos y los quiere empacar en bolsas con la misma cantidad cada una, sin que sobre ninguno. Quiere que cada bolsa tenga más de 1 y menos de 10 mangos. ¿Cuántos mangos puede poner por bolsa?

Solución. Hay que buscar los divisores de 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54. Los que son mayores que 1 y menores que 10 son 2, 3, 6 y 9. Puede poner 2, 3, 6 o 9 mangos por bolsa. Con 6 mangos, por ejemplo, serían 9 bolsas (6 × 9 = 54).

Para resolver problemas#

Para saber qué idea usar, fíjate en lo que pide el problema:

• Si hay que repartir o formar grupos iguales sin que sobre nada, piensa en los divisores (más en la lección de divisores).
• Si algo se repite cada cierto número de pasos o de días, piensa en los múltiplos (más en múltiplos).
• Si te preguntan por parejas, o si «sobra uno», piensa en par o impar (más en números pares).

Ejemplo. En una escuela, una maestra ahorra ₡500 cada semana (dato de ejercicio). ¿Cuánto tiene ahorrado en cada una de las primeras cuatro semanas? ¿Cuál de esas cantidades es múltiplo de 1500?

Solución. Las cantidades son los múltiplos de 500: ₡500, ₡1000, ₡1500 y ₡2000. Solo ₡1500 es múltiplo de 1500, porque 1500 × 1 = 1500. Las otras no lo son: 500 y 1000 son menores y 2000 ÷ 1500 no es exacta.

Ponte a prueba#

¿Cuáles son todos los divisores de 28?#

¿La suma 6134 + 2857 es un número par o impar?#

¿Qué múltiplos de 12 hay entre 100 y 150?#

¿Puede un número impar tener un divisor par?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)