Combinar operaciones con números naturales en quinto grado

Imagina que tu mamá te manda a la pulpería con ₡5000. Compras 3 paquetes de galletas y 2 jugos, y quieres saber cuánto te queda. Para contestar, necesitas multiplicar, sumar y restar en la misma cuenta. ¿Por cuál empiezas? Si cada persona elige un orden distinto, cada una llega a un resultado distinto, y solo uno puede ser el correcto.

En esta lección vas a aprender el orden que todo el mundo acuerda para resolver cuentas con varias operaciones, a usar los paréntesis para cambiar ese orden cuando haga falta, y a convertir un problema escrito en una cuenta que puedas resolver paso a paso.

Por qué hace falta un orden#

Mira esta cuenta: 4 + 3 × 6. Dos compañeras la resuelven de forma distinta. Laura va de izquierda a derecha: 4 + 3 = 7 y luego 7 × 6 = 42. Mateo multiplica primero: 3 × 6 = 18 y luego 4 + 18 = 22. Los resultados no coinciden, así que no pueden ser correctos los dos.

Piensa en la situación que representa la cuenta. Tienes 4 monedas sueltas y además 3 bolsitas con 6 monedas cada una. En total hay 4 + 18 = 22 monedas. Multiplicar es una manera abreviada de sumar grupos iguales (3 grupos de 6), y por eso se resuelve antes de juntarlo con lo demás. Así que Mateo tiene razón: el resultado es 22.

Los matemáticos de todo el mundo acordaron una regla para que una misma cuenta tenga siempre el mismo resultado, la escriba quien la escriba. Esa regla es la que vas a usar en esta lección.

Las reglas, paso por paso#

1. Busca los paréntesis y resuelve lo que hay dentro de ellos.
2. Resuelve las multiplicaciones y las divisiones, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
3. Resuelve las sumas y las restas, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha.
4. Escribe la cuenta de nuevo después de cada paso, para no perderte.

Multiplicar y dividir están en el mismo nivel: ninguna de las dos le gana a la otra. Lo mismo pasa con la suma y la resta. Cuando hay varias del mismo tipo seguidas, se avanza de izquierda a derecha.

Ejemplo. Calcula 60 − 18 ÷ 3 + 4 × 7.

Solución. Primero la división y la multiplicación, que van antes que la suma y la resta: 18 ÷ 3 = 6 y 4 × 7 = 28. La cuenta queda 60 − 6 + 28. Ahora, de izquierda a derecha: 60 − 6 = 54 y 54 + 28 = 82. El resultado es 82.

Ejemplo. Calcula 90 ÷ 6 ÷ 3.

Solución. Dos divisiones seguidas se resuelven de izquierda a derecha: 90 ÷ 6 = 15 y 15 ÷ 3 = 5. El resultado es 5. Un error común es hacer primero 6 ÷ 3 = 2 y luego 90 ÷ 2 = 45, que es incorrecto.

Ejemplo. Calcula 50 − 20 + 15.

Solución. La resta y la suma valen igual, así que se va de izquierda a derecha: 50 − 20 = 30 y 30 + 15 = 45. Si alguien sumara primero 20 + 15 = 35, obtendría 50 − 35 = 15, que es otra cuenta distinta.

Los paréntesis: cambiar el orden a propósito#

A veces necesitamos que una suma o una resta se haga antes que una multiplicación. Para eso se usan los paréntesis. El contenido se trata como un solo número y se calcula antes que lo demás.

Sin paréntesis	Con paréntesis
2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14	(2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
20 − 8 ÷ 2 = 20 − 4 = 16	(20 − 8) ÷ 2 = 12 ÷ 2 = 6
9 + 6 ÷ 3 = 9 + 2 = 11	(9 + 6) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5

Fíjate en que las mismas cifras y los mismos signos dan resultados muy distintos según dónde pongas los paréntesis. Por eso cada paréntesis es una decisión, no un adorno.

Ejemplo. Calcula 5 × (14 − 6) − 36 ÷ (2 + 4).

Solución. Primero los paréntesis: 14 − 6 = 8 y 2 + 4 = 6. La cuenta queda 5 × 8 − 36 ÷ 6. Luego la multiplicación y la división: 5 × 8 = 40 y 36 ÷ 6 = 6. Al final, 40 − 6 = 34.

De un problema a una cuenta#

En la vida real, nadie te da la cuenta escrita: te dan una historia. El trabajo es traducirla. Lee con calma, subraya los datos y pregúntate qué se pide. Después decide qué se calcula primero y si necesitas paréntesis para que la cuenta diga lo mismo que la historia.

Ejemplo. Una pulpería recibe 6 cajas con 24 jugos y 4 cajas con 18 jugos, y los acomoda en partes iguales en 8 estantes (datos de ejercicio). ¿Cuántos jugos van en cada estante?

Solución. Primero se cuentan todos los jugos: 6 × 24 + 4 × 18 = 144 + 72 = 216. Después se reparten entre 8 estantes. Como el reparto se hace sobre el total, ese total va entre paréntesis: (6 × 24 + 4 × 18) ÷ 8 = 216 ÷ 8 = 27. En cada estante van 27 jugos.

Ejemplo. Mariana se propone caminar 10 000 metros en la semana. Durante 4 días camina 1200 metros en la mañana y 800 en la tarde (datos de ejercicio). ¿Cuántos metros le faltan?

Solución. En un día camina 1200 + 800 = 2000 metros, y esa suma se repite 4 días, así que va entre paréntesis: 4 × (1200 + 800) = 4 × 2000 = 8000. Lo que falta se obtiene restando: 10 000 − 4 × (1200 + 800) = 10 000 − 8000 = 2000. Le faltan 2000 metros.

Antes de dar la respuesta, haz una estimación. En el ejemplo de los jugos, 6 cajas de unos 25 son 150 y 4 cajas de unos 20 son 80; en total cerca de 230, y repartidos en 8 estantes salen unos 29 por estante. Si tu cuenta hubiera dado 270, sabrías que algo salió mal.

Errores que conviene evitar#

• Resolver todo de izquierda a derecha sin mirar los signos. Primero se buscan las multiplicaciones y divisiones.
• Creer que la multiplicación siempre va antes que la división, o la suma antes que la resta. Cada pareja tiene la misma categoría y se resuelve según la posición.
• Olvidar un paréntesis cuando una suma o una resta debe hacerse antes. Si el problema dice «el total» o «lo que sobra», pregúntate si falta agrupar.
• Hacer varios pasos de cabeza y escribir solo el resultado. Escribir la cuenta de nuevo en cada paso evita muchos descuidos.

Con práctica, el orden se vuelve un hábito. Para ver la regla completa y más ejemplos, puedes visitar la lección sobre la prioridad de las operaciones.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es 9 + 8 × 4 − 15 ÷ 3?#

¿Cuánto es (120 − 45) ÷ 5 + 6 × 3?#

¿Cómo se escribe y cuánto da el problema de un salón con 5 filas de 6 pupitres y 3 filas de 4 pupitres, si se sacan 9 para repararlos?#

¿Por qué 36 ÷ 6 × 2 da 12 y no 3?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)