Expresiones con números y letras: el juego de pensar un número

Mariana le dice a su primo: «Piensa un número, multiplícalo por 5 y súmale 1. Dime el resultado y te adivino en qué número pensaste». Para que el truco funcione con cualquier número, ella necesita escribir lo que se hizo de una forma que sirva siempre.

Esa forma es una expresión con números y letras. En esta lección aprendes a pasar de las palabras a los símbolos y de los símbolos a las palabras. Los números de los ejemplos son datos de ejercicio.

La letra guarda un número#

Una letra no es un número distinto de los demás: es un recipiente. Puedes elegir la letra que quieras (a, n, m, p…) y, si das un valor, la expresión se convierte en una cuenta. El programa del MEP recomienda no usar la letra x, porque se parece al signo de multiplicar.

Ejemplo. En el truco de Mariana, el número pensado es a y el resultado es 5a + 1. ¿Cuánto da si a = 4? ¿Y en qué número pensó el primo si el resultado fue 36?

Solución. Con a = 4: 5 × 4 + 1 = 21. Para 36 se va hacia atrás: se resta 1 (36 − 1 = 35) y se divide entre 5 (35 ÷ 5 = 7). El primo pensó en el 7.

Palabras que se vuelven signos#

Las frases matemáticas usan palabras que siempre significan lo mismo. Aquí están las más comunes, con n como el número desconocido.

En palabras	Con símbolos
El doble de n	2n
El triple de n	3n
El cuádruple de n	4n
La mitad de n	n ÷ 2
n aumentado en 4, o 4 más que n	n + 4
n disminuido en 4, o 4 menos que n	n − 4
El siguiente de n	n + 1
El anterior de n	n − 1

Para la mitad se puede escribir n ÷ 2 o también n/2. Las dos formas dicen lo mismo.

Frases de dos pasos#

Muchas frases combinan dos operaciones. Se traducen por partes: primero lo que se hace al número y después lo que se le agrega o quita.

Ejemplo. Escribe con letras: a) el cuádruple de un número, disminuido en 3; b) siete más el doble de un número. Usa m para el número de a) y p para el de b).

Solución. a) El cuádruple de m es 4m y disminuido en 3 queda 4m − 3. b) El doble de p es 2p y «siete más» se escribe al inicio: 7 + 2p.

Cuidado con el orden. Una frase como «el triple de un número aumentado en 2» se escribe 3n + 2: se triplica el número y a eso se le agregan 2. Para que primero se haga la suma, la frase tiene que decirlo con claridad: «el triple de la suma de un número y 2», que se escribe con paréntesis, 3(n + 2).

Ejemplo. Compara «el quíntuple de un número aumentado en 4» con «el quíntuple de la suma de un número y 4» cuando el número es 2.

Solución. La primera es 5n + 4 = 5 × 2 + 4 = 14. La segunda es 5(n + 4) = 5 × (2 + 4) = 5 × 6 = 30. Dan resultados distintos.

Situaciones de todos los días#

Las letras sirven para describir situaciones que se repiten con números distintos.

• Una caja trae 12 lápices. En n cajas hay 12n lápices.
• Una bicicleta cuesta ₡20 000 más que un patinete. Si el patinete cuesta p colones, la bicicleta cuesta p + 20 000.
• De una cinta de 90 cm se cortan c cm. Quedan 90 − c centímetros.
• Se reparten ₡6 000 entre p personas en partes iguales. A cada una le toca 6 000 ÷ p.

Ejemplo. Una bolsa de arroz pesa 2 kg. Escribe una expresión para el peso de b bolsas y calcula el peso de 7 bolsas.

Solución. El peso de b bolsas es 2b kg. Con b = 7: 2 × 7 = 14 kg.

Dos números distintos, dos letras#

A veces la frase habla de dos números que no son el mismo. Entonces se usan dos letras distintas, por ejemplo a y b. Si se usara la misma letra, la expresión diría que los dos números son iguales.

En palabras	Con símbolos
La suma de dos números	a + b
El producto de dos números	a × b, o también ab
La diferencia entre un número mayor a y uno menor b	a − b
Ocho más cuatro veces un número	8 + 4m

Ejemplo. Si a = 9 y b = 4, ¿cuánto valen a + b, a − b y ab? Escribe en palabras qué dice cada una.

Solución. a + b = 9 + 4 = 13 y es la suma de los dos números. a − b = 9 − 4 = 5 y es la diferencia entre el mayor y el menor. ab = 9 × 4 = 36 y es su producto. Recuerda que ab significa a × b.

De los símbolos a las palabras#

También se puede leer una expresión y contarla con palabras. Por ejemplo, 6 + n ÷ 2 se lee «seis más la mitad de un número». Una buena manera de comprobar que tradujiste bien es probar con un número sencillo.

Ejemplo. ¿Qué dice en palabras n − 6? ¿Cuánto vale si n = 15?

Solución. Dice «un número disminuido en 6», o «6 menos que el número». Con n = 15 vale 15 − 6 = 9.

Errores que conviene evitar#

• «5 menos que n» es n − 5, no 5 − n. El orden de las palabras no es el orden de los símbolos.
• Una misma letra, dentro de un problema, representa siempre el mismo número.
• Si el problema ya usa una letra, escoge otra para una cantidad distinta.
• 3n quiere decir 3 × n. No lo confundas con 3 + n.

Ejemplo. ¿Cuánto valen 3(n + 2) y 3n + 2 si n = 4?

Solución. 3(n + 2) = 3 × (4 + 2) = 3 × 6 = 18. En cambio, 3n + 2 = 3 × 4 + 2 = 14. Los paréntesis cambian el resultado.

Ponte a prueba#

¿Cómo se escribe con números y letras «el doble de un número, aumentado en 9» y qué resultado da si el número es 5?#

¿Qué expresión indica cuántos kilogramos pesan b bolsas de arroz de 2 kg cada una, y cuánto pesan 7 bolsas?#

¿Por qué 3(n + 2) y 3n + 2 no dan lo mismo cuando n = 4?#

¿Cómo se lee en palabras la expresión n − 6 y cuánto vale cuando n es 15?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)