Divisibilidad: divisores, factores y múltiplos de un número

La maestra Karla tiene 42 cuadernos y quiere armar paquetes iguales, sin que le sobre ninguno. ¿Puede armar paquetes de 5? Si los arma, le sobran 2. ¿Y paquetes de 6? Sí: salen 7 paquetes exactos. ¿Y de 7? También: salen 6 paquetes. La pregunta de fondo es siempre la misma: ¿cuándo una división da exacta?

Aquí vas a practicar el uso seguro de cuatro palabras que describen esa idea: divisible, divisor, factor y múltiplo. Vas a encontrar los divisores de un número, a reconocer si un número es divisible sin hacer la división larga y a resolver problemas parecidos al de los cuadernos.

Cuatro palabras para una misma relación#

Mira la multiplicación 6 × 7 = 42. De ella salen varias frases que dicen lo mismo:

Frase	Qué dice
42 es divisible entre 6	42 ÷ 6 = 7, y el residuo es 0
6 es divisor de 42	6 cabe en 42 un número exacto de veces
6 y 7 son factores de 42	son los números que se multiplican para obtener 42
42 es múltiplo de 6 y de 7	42 se obtiene multiplicando 6 (o 7) por otro número natural

Fíjate en el papel de cada uno: el múltiplo es el resultado del producto; el divisor o factor es cualquiera de los números que caben exactamente en él. Los números 1 y 42 también son divisores de 42, porque 1 × 42 = 42.

Tres ideas que conviene recordar. Primera: todo número es divisible entre 1 y entre sí mismo. Segunda: el 0 es múltiplo de cualquier número (0 × 9 = 0), pero nunca se divide entre 0, porque esa operación no tiene resultado. Tercera: si un número divide a otros dos, también divide a su suma y a su diferencia. Por ejemplo, 7 divide a 35 y a 56, y por eso divide a 35 + 56 = 91 y a 56 − 35 = 21.

Los múltiplos: una lista que nunca termina#

Para escribir los múltiplos de un número, se multiplica por 1, por 2, por 3 y así sucesivamente. Los primeros múltiplos de 13 son 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91 y 104. Cada uno se obtiene sumando 13 al anterior, y por eso la lista no tiene final.

Ejemplo. ¿Es 221 múltiplo de 13?

Solución. Se divide: 221 ÷ 13 = 17, sin residuo. Entonces 221 = 13 × 17, y sí es múltiplo de 13.

Ejemplo. Busca un número mayor que 200 y menor que 300 que se pueda dividir exacto entre 2, 5 y 7.

Solución. Un número así es múltiplo de 2 × 5 × 7 = 70. Los múltiplos de 70 son 70, 140, 210, 280, 350… Los que están entre 200 y 300 son 210 y 280.

Cómo hallar la lista completa de divisores#

La forma más segura es buscarlos por parejas. Cada pareja son dos números que, al multiplicarse, dan el número. Probamos con 1, 2, 3, 4… y anotamos la pareja cuando la división sea exacta. Para 126:

1. 1 × 126 = 126, así que 1 y 126 son divisores.
2. 2 × 63 = 126, así que 2 y 63 son divisores.
3. 3 × 42 = 126, así que 3 y 42 son divisores.
4. 4 no sirve: 126 ÷ 4 da 31 y sobran 2. Tampoco el 5, porque la última cifra de 126 no es 0 ni 5.
5. 6 × 21 = 126, así que 6 y 21 son divisores.
6. 7 × 18 = 126, así que 7 y 18 son divisores.
7. 8 no sirve.
8. 9 × 14 = 126, así que 9 y 14 son divisores.
9. Probamos 10 y 11: ninguno divide a 126. El siguiente divisor sería el 14, que ya apareció como pareja del 9; por eso terminamos.

Los divisores de 126 son 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 y 126. Son doce. Un número que tiene únicamente dos divisores, la unidad y el propio número, se llama primo, como 59. Un número con más de dos divisores se llama compuesto, como 57, que además de 1 y 57 tiene al 3 y al 19. El número 1 no es primo ni compuesto, porque solo tiene un divisor. Puedes repasar estos conceptos en la lección de números primos.

Criterios de divisibilidad: saber sin dividir#

Estas reglas te dicen, con solo mirar las cifras, si una división va a ser exacta:

Entre	Es divisible si…	Ejemplo
2	la última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8	3 478
3	al sumar sus cifras resulta un múltiplo de 3	5 247, porque 5 + 2 + 4 + 7 = 18
4	el número formado por sus dos últimas cifras se puede dividir exacto entre 4 (o son 00)	7 236, porque 36 ÷ 4 = 9
5	termina en 0 o en 5	8 905
6	cumple a la vez el criterio del 2 y el del 3	7 236
9	al sumar sus cifras resulta un múltiplo de 9	5 247, porque 18 ÷ 9 = 2
10	termina en 0	4 520

Ejemplo. Prueba el número 7 236 con cada criterio de la tabla. ¿Con cuáles de esos divisores da una división exacta?

Solución. Termina en 6, que es par: sí entre 2. Sus cifras suman 7 + 2 + 3 + 6 = 18, que es múltiplo de 3 y de 9: sí entre 3 y entre 9. Sus dos últimas cifras forman 36, y 36 ÷ 4 = 9: sí entre 4. Como cumple los criterios del 2 y del 3, también cumple el del 6. Su última cifra no es 0 ni 5, así que falla con 5 y con 10. Resultado: es divisible entre 2, 3, 4, 6 y 9.

Factores primos: el número armado con piezas#

Cualquier número compuesto se descompone en una multiplicación de factores primos. Para hallarlos, se divide entre el primo más pequeño posible, repetidamente, hasta que el cociente sea 1. Veamos 396:

• 396 ÷ 2 = 198
• 198 ÷ 2 = 99
• 99 ÷ 3 = 33
• 33 ÷ 3 = 11
• 11 ÷ 11 = 1

Los primos por los que fuimos dividiendo son 2, 2, 3, 3 y 11, así que 396 = 2 × 2 × 3 × 3 × 11, o en forma de potencias, 2² × 3² × 11. Esa descomposición sirve, por ejemplo, para saber que 22 = 2 × 11 es divisor de 396 (están sus dos factores) y que 5 no lo es (no aparece). También ayuda a simplificar fracciones: en 54/126, el número 18 divide al numerador y al denominador, y la fracción queda 3/7. Si quieres practicar eso, visita simplificación de fracciones.

Resolver problemas con divisores y múltiplos#

Cuando un problema pide repartir en partes iguales sin que sobre nada, la respuesta está en los divisores. Cuando pide saber cuándo se repite algo, la respuesta está en los múltiplos.

Ejemplo. Una pulpería tiene 126 bolsas de arroz y quiere acomodarlas en estantes con la misma cantidad en cada uno, usando al menos 2 estantes y sin que sobre ninguna bolsa. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

Solución. Hay que contar los divisores de 126 que sirvan como número de estantes. Los divisores son 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63 y 126. Se descarta el 1, porque se pide al menos 2 estantes. Quedan 11 formas posibles; por ejemplo, 7 estantes con 18 bolsas cada uno.

Ejemplo. En la terminal de Heredia salen juntos dos buses a las 6:00 a. m. Uno sale cada 14 minutos y el otro cada 21 minutos. ¿Cuántos minutos pasan hasta que vuelven a salir juntos?

Solución. Se buscan múltiplos comunes. Los múltiplos de 14 son 14, 28, 42, 56… y los de 21 son 21, 42, 63… El primero que aparece en las dos listas es 42. Vuelven a salir juntos 42 minutos después, es decir, a las 6:42 a. m. Este número se llama mínimo común múltiplo; hay más sobre él en esta lección.

Ponte a prueba#

¿Es 195 un múltiplo de 13?#

¿Cuáles son todos los divisores de 66?#

¿Es 4 815 divisible entre 3, entre 5 y entre 9?#

¿Cuál es la descomposición de 462 en factores primos?#

¿Qué número entre 150 y 200 es múltiplo de 3, de 7 y de 8?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)