Cuadrados y cubos perfectos de los números naturales

En el salón de actos de una escuela hay 13 filas de sillas y cada fila tiene 13 sillas. ¿Cuántas sillas son en total? Son 13 × 13 = 169. Si el director consigue 150 sillas, no podrá formar un cuadrado completo con todas ellas. Y si un niño quiere armar un cubo grande con 500 cubitos de plástico, tampoco le saldrá exacto.

Esa diferencia entre lo que sí encaja y lo que no es el tema de esta lección. Descubrirás qué son los cuadrados y los cubos perfectos, cómo reconocerlos de varias formas y cómo usarlos para resolver problemas con medidas de figuras.

Elevar al cuadrado y al cubo#

En n² y n³, el número n se llama base y el número pequeño, escrito arriba a la derecha, se llama exponente. El exponente 2 se lee «al cuadrado» y el 3 se lee «al cubo». Los nombres vienen de la geometría (en la lección sobre el cubo verás sus características): n² mide la superficie de un cuadrado cuyo lado es n, y n³ es el volumen de un cubo de arista n.

Las bases pequeñas conviene saberlas de memoria:

Base	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Cuadrado	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Cubo	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1 000

Con bases más grandes, la cuenta se hace con cuidado. Por ejemplo, 13² = 13 × 13 = 169 y 13³ = 169 × 13 = 2 197. Observa que 13³ no es 13 × 3. Un error muy común es multiplicar la base por el exponente en lugar de multiplicarla por sí misma.

Cómo reconocer un cuadrado perfecto#

Hay tres caminos, y conviene conocer los tres.

• La raíz cuadrada exacta. Un número es cuadrado perfecto cuando algún natural, al multiplicarse consigo mismo, produce ese número. Eso se escribe √169 = 13. Si la raíz no es un natural, el número no es cuadrado perfecto.
• Entre dos cuadrados vecinos. Para saber si 150 lo es, se buscan los cuadrados que lo rodean: 12² = 144 y 13² = 169. Como 150 queda entre ellos, no es cuadrado perfecto.
• La última cifra. Un cuadrado perfecto solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Así, 1 247 termina en 7 y se descarta sin hacer ninguna cuenta. Ojo: terminar en una de esas cifras no basta; 14 termina en 4 y no es cuadrado perfecto.

Hay una curiosidad que se puede comprobar con facilidad: cada cuadrado perfecto es una suma de números impares consecutivos, empezando por 1. Por ejemplo, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, que es 5². Y 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49, que es 7². La suma de los primeros n impares siempre da n².

Ejemplo. Para un mural, una clase tiene 150 láminas cuadradas iguales y quiere formar con ellas un cuadrado grande. ¿Alcanza para el cuadrado más grande posible y cuántas láminas sobran?

Solución. Se busca el mayor cuadrado perfecto que no pase de 150. Como 12² = 144 y 13² = 169, el más grande que se puede formar es el de 12 láminas por lado, con 144 láminas. Sobran 150 − 144 = 6 láminas.

Cómo reconocer un cubo perfecto#

Los caminos son parecidos, con la raíz cúbica en lugar de la cuadrada. La raíz cúbica de un número es el número que, multiplicado tres veces por sí mismo, da el primero. Se escribe con el signo ∛, y por eso ∛2 744 = 14, porque 14 × 14 × 14 = 2 744.

Para saber si 500 es un cubo perfecto se mira entre qué cubos vecinos queda: 7³ = 343 y 8³ = 512. Como 500 está entre los dos, no lo es. Los cubos crecen muy rápido: ya el cubo de 20 es 8 000.

Otra pista es la paridad. Si la base es par, su cubo también es par (6³ = 216); si la base es impar, su cubo es impar (7³ = 343). Con los cuadrados pasa lo mismo.

Ejemplo. Un niño tiene 500 cubitos de madera y quiere armar el cubo más grande posible. ¿Cuántos cubitos mide la arista de ese cubo y cuántos cubitos le sobran?

Solución. Como 7³ = 343 y 8³ = 512, y 512 es mayor que 500, solo puede armar el cubo de 7 cubitos por arista. Usa 343 y le sobran 500 − 343 = 157 cubitos.

Ejemplo. Una caja cúbica tiene 5 cm de arista. Otra caja cúbica tiene una arista tres veces más larga. ¿Cuántas veces más volumen tiene la segunda?

Solución. La primera mide 5³ = 125 cm³. La segunda tiene arista de 15 cm, y su volumen es 15³ = 3 375 cm³. Como 3 375 ÷ 125 = 27, la segunda caja tiene 27 veces el volumen de la primera. Es 3³: si la arista se multiplica por 3, el volumen se multiplica por 3³.

Reconocerlos con los factores primos#

Cuando el número es grande, el camino más seguro es descomponerlo en factores primos (la descomposición en factores primos se repasa en otra lección) y mirar los exponentes. Un número es cuadrado perfecto si todos los exponentes son pares. Y es cubo perfecto cuando cada exponente se puede dividir exacto entre 3.

Ejemplo. Usa los factores primos para decidir si 784 y 504 son cuadrados perfectos.

Solución. 784 = 2⁴ × 7², con todos los exponentes pares, así que es un cuadrado perfecto: 784 = (2² × 7)² = 28². En cambio, 504 = 2³ × 3² × 7. Los factores 2 y 7 tienen exponentes 3 y 1, que son impares, así que 504 no es cuadrado perfecto. Se puede comprobar: 22² = 484 y 23² = 529, y 504 queda entre ellos.

Ejemplo. Decide si 5 832 y 4 000 son cubos perfectos.

Solución. 5 832 = 2³ × 3⁶. Los exponentes, 3 y 6, son múltiplos de 3, así que es cubo perfecto: 5 832 = (2 × 3²)³ = 18³. En cambio, 4 000 = 2⁵ × 5³. El exponente 5 no es múltiplo de 3, así que 4 000 no es cubo perfecto.

Números que son cuadrado y cubo a la vez#

Algunos números cumplen las dos condiciones. El 1 es el primero. El siguiente es 64, porque 64 = 8² y también 64 = 4³. Para que un número sea cuadrado y cubo perfecto a la vez, los exponentes de sus factores primos deben ser múltiplos de 2 y de 3, o sea, múltiplos de 6. Por eso 64 = 2⁶ lo logra. El siguiente es 3⁶ = 729, que es 27² y también 9³.

Fíjate en que, entre 2 y 100, solo el 64 cumple las dos condiciones. Si quieres repasar cómo se forman las potencias, mira la lección de potencias.

Ponte a prueba#

¿Es 289 un cuadrado perfecto?#

¿Es 2 744 un cubo perfecto?#

¿Puede 2 138 ser un cuadrado perfecto?#

¿Cuántos cuadrados perfectos hay de 100 a 400, incluyendo ambos números?#

¿Cuál es el volumen de un cubo de 9 cm de arista?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)