¿Qué significa la Divisibilidad en matemáticas?
Esta lección es parte de Temario Matemáticas de Escuela del I y II ciclo Lección 5 de 128Por Andrea del Carmen actualizado el agosto 31, 2026 7 min de lectura 3.965 lecturas
La divisibilidad en matemáticas es una característica esencial que demuestra la capacidad de un número para dividirse sin dejar ningún residuo. Esta propiedad no solo establece conexiones entre los números enteros, sino que también revela la estructura subyacente de los números de manera poderosa.
Definición
La divisibilidad es la propiedad de un número de poder dividirse entre otro sin dejar residuo. Existen criterios que permiten saberlo sin hacer la división: entre 2 si la última cifra es par, entre 3 o entre 9 si la suma de sus cifras lo es, entre 5 si termina en 0 o 5, entre 10 si termina en 0, y entre 4 si las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
La importancia de la Divisibilidad#
La divisibilidad es un concepto esencial en matemáticas que revela la estructura interna de los números enteros, facilita la factorización, es fundamental en la teoría de números, sustenta algoritmos, cálculos y tiene aplicaciones prácticas en la vida cotidiana, desde la distribución equitativa de recursos hasta la criptografía. Su comprensión es fundamental para resolver una amplia gama de problemas matemáticos y desarrollar habilidades sólidas en esta disciplina.
Esta propiedad es fundamental en muchas ramas de las matemáticas, desde la aritmética básica hasta áreas más avanzadas como la teoría de números. La divisibilidad proporciona una base sólida para entender y manipular números, y es esencial para resolver una amplia variedad de problemas matemáticos.
Ejemplos de Divisibilidad#
Al comprender profundamente la divisibilidad, se obtiene una herramienta fundamental para desentrañar la complejidad numérica y abordar una amplia gama de problemas matemáticos con confianza y precisión, desde los más básicos hasta los más avanzados en áreas como la teoría de números y la criptografía.
Aquí ejemplos de divisibilidad en acción:
- Por 2: Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. Por ejemplo, 14, 36, y 102 son divisibles por 2.
- Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, 123 (1 + 2 + 3 = 6) y 315 (3 + 1 + 5 = 9) son divisibles por 3.
- Por 5: Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5. Por ejemplo, 75 y 130 son divisibles por 5.
- Por 9: Similar a la divisibilidad por 3, un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Por ejemplo, 198 (1 + 9 + 8 = 18) es divisible por 9.
- Por 10: Un número es divisible por 10 si termina en 0. Por ejemplo, 50, 120 y 1000 son divisibles por 10.
- Por 4: Un número es divisible por 4 si los dos últimos dígitos forman un número divisible por 4. Por ejemplo, 124 (últimos dos dígitos forman 24) y 732 (últimos dos dígitos forman 32) son divisibles por 4.
¿Qué es el factor o divisor propio?#
Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de n. El divisor n es denominado impropio. Por ejemplo, los divisores propios de (28 son 1, 2, 4, 7 y 14). Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor que el número dado. En este caso, los divisores propios serían (-14, -7, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 7, 14).
Sin embargo, existen casos especiales: el número 1 y su inverso, -1, son factores triviales de todos los enteros. Y todo entero distinto de cero es divisor de 0, porque 0 dividido entre cualquier número da 0 exacto. Lo que no está permitido es lo contrario: dividir entre 0 no está definido, no da 0 ni da ningún otro resultado. A su vez, los números divisibles por 2 se denominan pares, mientras que aquellos que no lo son se conocen como impares.
Identificación de Divisibilidad en números de grandes#
Queremos determinar si el número 2.799.588 es divisible entre los números 2, 3, 4, 5, 6 y 10.
Para empezar, observamos que el último dígito de 2.799.588 es un número par, indicando que es divisible por 2. Luego, para verificar la divisibilidad por 3, sumamos los dígitos del número: (2 + 7 + 9 + 9 + 5 + 8 + 8 = 48) Dado que 48 es divisible por 3 (la suma de sus dígitos es 4 + 8 = 12, que también es divisible por 3), concluimos que 2.799.588 es divisible por 3.
Para el caso de 4, verificamos si los últimos dos dígitos (88) son divisibles por 4, lo que es cierto. En cuanto a la divisibilidad por 5, es fácil notar que el último dígito no es ni 0 ni 5, por lo tanto, 2.799.588 no es divisible por 5.
Sin embargo la divisibilidad por 6, observamos que el número cumple con las condiciones de ser divisible tanto por 2 como por 3, por lo que también es divisible por 6. Finalmente, como el último dígito no es 0, el número no es divisible por 10. Por lo tanto, podemos concluir que 2.799.588 solo es divisible por 2, 3, 4 y 6, pero no por 5 ni por 10.
En conclusión, la comprensión de la divisibilidad en matemáticas es esencial para entender una amplia gama de conceptos y aplicaciones en este campo. Desde la simplificación de fracciones hasta la factorización de números grandes en criptografía, la divisibilidad nos proporciona una herramienta poderosa para analizar y manipular números de manera efectiva.
Ponte a prueba#
¿Cómo se sabe si 2 799 588 es divisible entre 3?#
Se suman todas sus cifras y se mira si el resultado es múltiplo de 3: 2 + 7 + 9 + 9 + 5 + 8 + 8 = 48. Como 48 es múltiplo de 3 (48 ÷ 3 = 16), el número también lo es. Si quedara duda con el 48, se puede repetir el truco: 4 + 8 = 12, y 12 sí es claramente múltiplo de 3. Comprobación: 2 799 588 ÷ 3 = 933 196.
¿Cuál es el criterio de divisibilidad entre 4?#
Se miran únicamente las dos últimas cifras: si el número que forman es múltiplo de 4, el número entero también lo es. En 124 las dos últimas son 24, y 24 ÷ 4 = 6, así que 124 es divisible entre 4 (124 ÷ 4 = 31). En 2 799 588 las dos últimas son 88, y 88 ÷ 4 = 22, así que también lo es.
¿Qué es un divisor propio y cuáles son los del 28?#
Un divisor propio de un número es cualquier divisor suyo distinto de él mismo (el propio número se llama divisor impropio). Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28; quitando el 28, sus divisores propios son 1, 2, 4, 7 y 14. Si se cuentan también los negativos, se añaden −1, −2, −4, −7 y −14.
¿Se puede dividir un número entre 0?#
No. La división entre cero no está definida: no da 0 ni da ningún otro número. La razón es que dividir 8 entre 0 sería buscar un número que multiplicado por 0 diera 8, y cualquier número multiplicado por 0 da 0. Cosa distinta es dividir el cero: 0 ÷ 5 = 0, y eso sí vale. Por eso se dice que todo número distinto de cero es divisor de 0.
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