Una vendedora de helados de San Ramón sirve helado en vasito y en cono. Los dos parecen del mismo tamaño, pero el vasito cilíndrico lleva más. No es una impresión: el cono con la misma boca y la misma altura entra tres veces dentro del cilindro. Esa relación entre los cuerpos sólidos y su volumen se puede calcular.
Definición
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Se mide en unidades cúbicas: cm³, dm³, m³.
Los cuerpos y cómo reconocerlos#
Los cuerpos sólidos se dividen en dos grupos: los que tienen todas sus caras planas (poliedros) y los que tienen alguna superficie curva.
- Cubo: seis caras cuadradas iguales, como un dado.
- Prisma: dos caras iguales y paralelas (las bases) unidas por caras rectangulares. Puede ser rectangular (una caja de zapatos) o triangular (el empaque de algunos chocolates).
- Pirámide: una base y caras triangulares que se juntan en un punto. Se nombra por su base: pirámide cuadrangular, triangular…
- Cilindro: dos bases circulares iguales y una superficie curva, como una lata de atún.
- Cono: una base circular y un vértice, como un barquillo.
- Esfera: todos sus puntos están a la misma distancia del centro, como una bola de fútbol.
El cilindro, el cono y la esfera tienen superficie curva, por eso no se llaman poliedros. El cubo, los prismas y las pirámides sí lo son.
Prismas y cubo#
El volumen de un prisma es el área de su base multiplicada por su altura.
Fórmulas
Prisma: V = área de la base × altura. Prisma rectangular: V = largo × ancho × alto. Cubo: V = arista × arista × arista = a³.
Ejemplo. Una caja de 5 cm de largo, 3 cm de ancho y 2 cm de alto.
Solución. V = 5 × 3 × 2 = 30 cm³.
Ejemplo. Un cubo de 4 cm de arista.
Solución. V = 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 cm³.
Ejemplo. Un prisma triangular cuya base tiene 6 cm de base y 4 cm de altura, y el prisma mide 10 cm de largo.
Solución. El área de la base triangular es (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm². Luego V = 12 × 10 = 120 cm³.
Cilindro#
Un cilindro es como un prisma con base redonda: V = área del círculo × altura.
Fórmula
Cilindro: V = π × r² × h, donde r es el radio de la base y h es la altura. Se usa π ≈ 3,14.
Ejemplo. Un tanque cilíndrico de agua tiene 1 m de radio y 2 m de alto.
Solución. V = 3,14 × 1² × 2 = 6,28 m³.
Un error muy frecuente es usar el diámetro en lugar del radio. Si el problema da el diámetro, divídelo entre 2 primero.
Pirámide y cono#
La pirámide ocupa un tercio del prisma que tiene la misma base y la misma altura. Lo mismo pasa entre el cono y el cilindro.
Fórmulas
Pirámide: V = (área de la base × altura) ÷ 3. Cono: V = (π × r² × h) ÷ 3.
Ejemplo. Una pirámide de base cuadrada de 6 m de lado y 5 m de altura.
Solución. Área de la base = 6 × 6 = 36 m². V = 36 × 5 ÷ 3 = 60 m³.
Ejemplo. El barquillo de un helado tiene 3 cm de radio y 10 cm de altura.
Solución. V = 3,14 × 3² × 10 ÷ 3 = 3,14 × 9 × 10 ÷ 3 = 282,6 ÷ 3 = 94,2 cm³.
La altura de una pirámide o de un cono es la distancia perpendicular de la punta a la base, no la longitud de una arista inclinada.
Esfera#
Fórmula
Esfera: V = (4 × π × r³) ÷ 3.
Ejemplo. Una bola de 3 cm de radio.
Solución. r³ = 3 × 3 × 3 = 27. V = 4 × 3,14 × 27 ÷ 3 = 339,12 ÷ 3 = 113,04 cm³.
Aquí el error típico es elevar al cuadrado en lugar de al cubo. Para la esfera el radio se multiplica tres veces.
Cómo resolver un problema#
- Identifica el cuerpo y dibújalo.
- Anota los datos con sus unidades: radio, arista, altura.
- Escribe la fórmula y sustituye.
- Opera por partes y pon la unidad cúbica.
- Revisa que el resultado tenga sentido: el cono debe dar menos que el cilindro de igual base y altura.
Para practicar, busca en tu casa una lata, una caja, una pelota y un embudo. Identifica cada cuerpo, mide con una regla lo que haga falta y calcula el volumen. Compara con lo que dice la etiqueta cuando la tenga.
Ponte a prueba#
Calcula el volumen de una caja de 10 cm de largo, 6 cm de ancho y 5 cm de alto.#
V = 10 × 6 × 5 = 300 cm³.
Un cilindro tiene 2 cm de radio y 7 cm de altura. ¿Cuál es su volumen? (π ≈ 3,14)#
V = 3,14 × 2² × 7 = 3,14 × 4 × 7 = 87,92 cm³.
Una pirámide de base cuadrada de 3 m de lado tiene 4 m de altura. Calcula su volumen.#
Área de la base = 3 × 3 = 9 m². V = 9 × 4 ÷ 3 = 12 m³.
Un cono y un cilindro tienen el mismo radio y la misma altura. Si el cilindro tiene 90 cm³, ¿cuánto tiene el cono?#
El cono es la tercera parte del cilindro: 90 ÷ 3 = 30 cm³.
¿Cuál es el volumen de una esfera de 6 cm de diámetro? (π ≈ 3,14)#
El radio es la mitad del diámetro: 3 cm. V = 4 × 3,14 × 27 ÷ 3 = 113,04 cm³.
Fuentes#
También en Matemáticas 6ºSexto grado