Propiedades de las operaciones y el número que falta

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Cuarto grado Lección 43 de 56

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 5 min de lectura

Doña Marta vende tamales en la esquina de la escuela. Cada tarde lleva sus cuentas en una libreta: cuántos tamales hizo, cuántos vendió, cuánto dinero juntó. A veces un número se le borra con el tiempo y tiene que adivinarlo con lo que sí se lee. Otras veces quiere hacer una cuenta de cabeza y la ordena de otra forma para que le salga más fácil.

En esta lección haces las dos cosas: buscas el número que falta en una expresión, una tabla o una figura, y usas las propiedades de la suma y la multiplicación para calcular con astucia.

Idea clave

Las propiedades de las operaciones dicen cuándo se puede cambiar el orden o el agrupamiento de una cuenta sin que cambie el resultado. La conmutativa permite cambiar el orden. La asociativa permite cambiar los paréntesis. La distributiva reparte una multiplicación sobre una suma. El número que falta es el que, al colocarse, hace verdadera la igualdad.

El número que falta en una expresión#

En la libreta de doña Marta se lee 4 + □ = 11, y el cuadrito es un número borrado. Para encontrarlo se usa la operación contraria: si el cuadrito se suma, se resta; si se multiplica, se divide.

Expresión	Operación contraria	El número que falta
□ + 168 = 400	400 − 168	232
200 − □ = 135	200 − 135	65
6 × □ = 54	54 ÷ 6	9
□ ÷ 4 = 15	15 × 4	60

Fíjate en la segunda fila: el número que falta es el que se resta, así que se calcula 200 − 135, y no 135 − 200. Siempre se comprueba poniendo el resultado en el cuadrito: 200 − 65 = 135, y es verdadero.

El número que falta en una tabla o en una figura#

En una tabla, primero se descubre la regla con los datos que sí están, y después se usa para completar. Esta es la hoja de doña Marta con las docenas de tamales:

Docenas	1	2	3	4	□	6
Tamales	12	24	□	48	60	72

Cada docena tiene 12 tamales, así que la regla es «multiplicar por 12». Con 3 docenas hay 3 × 12 = 36 tamales. Y 60 ÷ 12 = 5, así que el cuadrito de arriba es 5 docenas.

En una figura se usa la misma idea. En esta pirámide, cada número de arriba es la suma de los dos que tiene debajo:

Piso	Números
Arriba	□
Medio	20 y □
Abajo	12, 8 y 15

El número de medio de la izquierda es 12 + 8 = 20, y el de la derecha es 8 + 15 = 23. Arriba va la suma de los de medio: 20 + 23 = 43.

Conmutativa: el orden no cambia el resultado#

En la suma y en la multiplicación se puede cambiar el orden de los números: 8 + 5 = 5 + 8 y 8 × 5 = 5 × 8. Eso es la propiedad conmutativa. No funciona para la resta ni para la división: 10 − 4 = 6, pero 4 − 10 no se puede hacer con números naturales.

Ejemplo. Doña Marta vendió 37 tamales de cerdo, 48 de pollo y 13 de chile dulce. ¿Cuántos vendió en total? Ordena la suma para que sea fácil de hacer de cabeza.

Solución. Se cambia el orden para juntar los que suman una decena exacta: 37 + 13 + 48. Primero 37 + 13 = 50. Luego 50 + 48 = 98. Vendió 98 tamales.

Asociativa: los paréntesis se pueden mover#

Al sumar o multiplicar tres números, se pueden juntar primero los de la izquierda o los de la derecha: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5), y (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4). Es la propiedad asociativa. Sirve para formar números redondos.

Ejemplo. Una caja tiene 4 bandejas, cada bandeja tiene 25 tamales y se llenan 7 cajas. ¿Cuántos tamales hay?

Solución. Se calcula 7 × 4 × 25. Se agrupa 4 × 25 = 100, y después 7 × 100 = 700. Hay 700 tamales. Con la asociativa se evitó una multiplicación difícil.

Distributiva: repartir la multiplicación#

Si un número multiplica una suma, se puede multiplicar por cada sumando y después sumar: a × (b + c) = a × b + a × c. Es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

Ejemplo. Calcula 7 × 23 de cabeza.

Solución. Se parte 23 como 20 + 3. Entonces 7 × 23 = 7 × 20 + 7 × 3 = 140 + 21 = 161.

Ejemplo. Doña Marta vende 12 tamales de cerdo y 8 de pollo a ₡1300 cada uno (datos de ejercicio). ¿Cuánto dinero recibe?

Solución. Con la distributiva: 1300 × (12 + 8) = 1300 × 12 + 1300 × 8 = 15 600 + 10 400 = ₡26 000. Se puede revisar sumando primero: 12 + 8 = 20 tamales, y 20 × 1300 = 26 000.

Ejemplo. ¿Qué número falta en 6 × (10 + □) = 6 × 10 + 6 × 7?

Solución. Al repartir el 6 sobre la suma, aparece 6 × 10 y 6 × □. Como la igualdad dice que el segundo producto es 6 × 7, el número que falta es 7. Revisión: 6 × 17 = 102 y 60 + 42 = 102.

Ponte a prueba#

¿Qué número falta en □ + 275 = 900?#

El número que falta se suma con 275 para dar 900, así que se usa la operación contraria: 900 − 275 = 625. Se comprueba: 625 + 275 = 900. Falta el 625.

¿Cómo se calcula con facilidad 5 × 19 × 2 y qué propiedades se usan?#

Se cambia el orden con la conmutativa para escribir 5 × 2 × 19. Con la asociativa se agrupa primero 5 × 2 = 10. Luego 10 × 19 = 190. El resultado es 190, y de cabeza resulta mucho más sencillo que multiplicar 5 por 19 y después por 2.

¿Cómo se calcula 8 × 34 con la propiedad distributiva?#

Se parte el 34 en 30 + 4. Entonces 8 × 34 = 8 × 30 + 8 × 4 = 240 + 32 = 272. Se reparte la multiplicación entre cada sumando y luego se suman los resultados. Se puede revisar sumando 34 ocho veces o con otra descomposición.

¿Qué número falta en la tabla 15, 30, 45, □, 75, 90?#

Los números suben de 15 en 15: 30 − 15 = 15 y 45 − 30 = 15. La regla es sumar 15 cada vez; son los números de la tabla del 15. El que falta es 45 + 15 = 60. Se comprueba con el siguiente: 60 + 15 = 75.