Ecuaciones de Primer Grado

Conocidas en el mundo matemático, las ecuaciones de primer grado, también son llamadas ecuaciones lineales. Estas ecuaciones pertenecen al área del algebraica, y se caracterizan por poseer una o más incógnitas.

Usando por lo general la letra “X” para identificar la incógnita a deducir, y dichas ecuaciones poseen un exponente. Para lograr resolver estas ecuaciones, se debe buscar el valor de la incógnita, por medio de la aplicación de las diferentes operaciones aritméticas. Al encontrar la solución de una ecuación lineal, se encuentra el valor que, al sustituir la incógnita, logran que la igualdad sea cierta.

Principales Características#

Para que se den las ecuaciones de primer grado, es importante que presenten ciertas características en su formulación.

• Exponente 1: Indica que la incógnita se debe elevar a la primera potencia, aunque usualmente esto no se escribe en la ecuación.
• Forma en general: Por lo general se puede expresar de la siguiente manera ax+b=0, en esta representación “a, b” representan números, con “a” distinto de cero.
• Solución: Cada una de las ecuaciones de primer grado, debe tener una solución para cada una de sus incógnitas.
• Gráfica Lineal: Al graficar una ecuación de primer grado, esta da como resultado una línea recta.

Pasos para Resolver las Ecuaciones de Primer Grado#

Al tener una ecuación lineal como por ejemplo 2(x+1) -3 = 5, se deben seguir los siguientes pasos para lograr la solución de la incógnita.

1. Eliminación de los Paréntesis: En caso de que existan signos de agrupación, estos deben ser eliminados multiplicando por el número que esta antes del paréntesis.
   1. 2x +2 -3 = 5
2. Agrupación de términos: Se deben de mover los términos en los que este la incógnita a un lado del igual. Mientras que los demás términos estarán al lado contrario del igual.
   1. 2x = 5 -2+ 3
3. Reducir Términos: Se hacen las operaciones correspondientes para combinar los términos que son semejantes.
   1. 2x = 6
4. Despeje de la Incógnita: Se deja la incógnita, de un lado del igual, para ello se divide o multiplica el número que está a su lado.
   1. X = 6 / 2
   1. X = 3

Ecuación de Primer Grado con una Incógnita#

Cuando se tiene ecuaciones de primer grado, con una sola incógnita, se puede señalar como mx + n = 0, el cual se define sobre un conjunto de números Q. En donde m ≠ 0 y la x representa a la incógnita, con la siguiente solución:

La solución puede ser representada en una grafica de manera vertical y como una recta paralela. En caso de que tanto los coeficientes, como la incógnita sean parte de un anillo. La operación es más complicada ya que solo se da solución si m divide a n y se trata de un anillo de dominio de integridad.

Ecuaciones de Primer Grado con dos incógnitas#

Cuando se da que en las ecuaciones de primer grado se dan dos variables o incógnitas, se puede interpretar relaciones entre ellas matemáticas. Uno de los ejemplos más usado para representar este tipo de ecuación es y = mx +n.

Con este ejemplo m representa a la pendiente y la letra n representa al punto en donde se corta la recta en el eje y. Según el sistema cartesiano las ecuaciones de primer grado que poseen dos incógnitas se representan por medio de rectas.

En algunas ocasiones son necesarias diversas técnicas algebraicas para poder representar las rectas de manera explícita. Algunos ejemplos son:

3x + 2y = 5

3x + y – 5 = -7x + 4y + 3

Sistemas de Ecuaciones Lineales#

Cuando las ecuaciones de primer grado expresan varias ecuaciones, se le conoce como un sistema de ecuaciones lineales y se indica un tratamiento matricial. Para la solución se deben dar tantas ecuaciones, como incógnitas, por otro lado, el determinante de la matriz no debe ser nulo, es decir, tiene que ser distinto de cero.

De manera geométrica pueden corresponder las debidas intersecciones de líneas en un único punto (dos ecuaciones y dos incógnitas). Si hay planos en una recta (dos ecuaciones y tres incógnitas) o en un único punto (tres ecuaciones, tres incógnitas). Cuando el determinante de la matriz es nulo, el sistema deja de tener solución única: o no tiene ninguna solución, o tiene infinitas.

5x -3y + 4z = 8

-3x + 2y + 6z = 5

4x -5y + 3z = 3

Cuando las ecuaciones de primer grado son consideradas linealmente independientes, es porque existe una única solución. Esto solo si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, la cual puede ser calculada gracias a la Regla de Cramer. Si las ecuaciones no cumplen con el teorema o se tornan más complicadas, se considera que NO son linealmente independiente.

Ponte a prueba#

¿Cómo se resuelve paso a paso la ecuación 2(x + 1) − 3 = 5?#

¿Por qué en la forma ax + b = 0 el coeficiente a no puede ser cero?#

¿Qué significan la m y la n en y = mx + n?#

¿Qué pasa cuando el determinante de un sistema de ecuaciones vale cero?#