Comparar fracciones propias y resolver problemas: las jarras de fresco

En la feria de la escuela se vende fresco de mora en jarras iguales. Al final del día, algunas jarras quedaron casi llenas y otras casi vacías. Para saber cuál tiene más fresco no hace falta medir: se puede comparar la parte de cada jarra que está llena. Esa parte es una fracción.

En esta lección vas a comparar fracciones propias con los símbolos <, > e =, y vas a usar esa comparación para resolver problemas. Todas las jarras y todas las tiras que compares tendrán el mismo tamaño total; sin eso, la comparación no tiene sentido.

Mismo denominador: se comparan los numeradores#

Si dos jarras del mismo tamaño se dividen en el mismo número de partes, las partes son del mismo tamaño y gana la que tenga más partes llenas.

Ejemplo. Una jarra tiene 3/8 de fresco y otra tiene 5/8 (datos de ejercicio). ¿Cuál tiene más? Escribe la comparación con el símbolo que corresponde.

Solución. Ambas jarras tienen 8 marcas del mismo tamaño. Una tiene 3 partes llenas y la otra 5. Como 3 es menor que 5, se escribe 3/8 &lt; 5/8. La segunda jarra tiene más fresco.

Mismo numerador: se comparan los denominadores#

Ahora las dos jarras tienen el mismo número de partes llenas, pero cada jarra se dividió de manera distinta. Si una jarra se marcó con más rayitas, sus partes salen más chicas. Por eso, cuando el numerador no cambia, la fracción de denominador más grande es la menor.

Ejemplo. Una jarra tiene 2/5 de fresco y otra tiene 2/9 (datos de ejercicio). ¿Cuál tiene más?

Solución. En las dos hay 2 partes llenas. Pero una quinta parte de la jarra es más grande que una novena parte. Por eso 2/5 &gt; 2/9: la primera jarra tiene más fresco.

Comparar mirando lo que falta#

Cuando los numeradores y los denominadores son distintos, hay un método útil con las fracciones propias: comparar lo que falta para llenar la jarra. La jarra a la que le falta menos es la más llena.

Ejemplo. Matías tiene una jarra con 5/6 de fresco y Sofía una igual con 7/8 (datos de ejercicio). ¿Quién tiene más?

Solución. A la jarra de Matías le falta 1/6 para llenarse, porque 6 − 5 = 1. A la de Sofía le falta 1/8, porque 8 − 7 = 1. Como un octavo es más pequeño que un sexto, a Sofía le falta menos. Por eso 5/6 &lt; 7/8 y la jarra de Sofía tiene más.

Este método sirve cuando a las dos fracciones les falta el mismo número de partes, una o más, porque entonces lo que falta tiene el mismo numerador y se compara por los denominadores. Por ejemplo, a 3/5 le faltan 2/5 y a 5/7 le faltan 2/7. Como 2/7 es menor que 2/5, a 5/7 le falta menos, y por eso 3/5 &lt; 5/7. Si a cada fracción le falta un número distinto de partes, este método no decide por sí solo y hay otro punto de apoyo.

Usar la mitad como punto de apoyo#

La mitad de una jarra, 1/2, es una buena referencia. Una fracción es menor que 1/2 si su numerador es menos que la mitad del denominador, y es mayor que 1/2 si pasa de esa mitad. Si el numerador es exactamente la mitad del denominador, como en 4/8, la fracción es igual a 1/2.

Ejemplo. ¿Cuál es mayor, 2/5 o 5/9?

Solución. En 2/5, el 2 no llega a la mitad de 5 (que es 2 y medio): 2/5 queda por debajo de la mitad. En 5/9, el 5 es más que la mitad de 9 (que es 4 y medio), así que 5/9 está por encima de la mitad. Entonces 2/5 &lt; 5/9.

Ten cuidado con un límite de este apoyo: si las dos fracciones quedan del mismo lado de la mitad, como 3/7 y 4/9 (las dos por debajo), la mitad no alcanza para decidir. En ese caso se dibuja cada una en una tira del mismo tamaño y se mira cuál tiene más parte pintada.

Para saber cuándo dos fracciones son iguales, un dibujo ayuda. Una tira partida en 6 partes iguales con 3 pintadas queda pintada hasta la mitad, igual que una tira de 2 partes con 1 pintada, o una de 8 con 4. Por eso 3/6 = 1/2 = 4/8: son escrituras distintas de la misma cantidad.

Cómo se ven	Comparación	Símbolo
■ ■ ■ □ □ □ y ■ □	3/6 y 1/2	=
■ ■ ■ ■ □ □ □ □ y ■ □	4/8 y 1/2	=
■ ■ □ □ □ y ■ ■ ■ ■ ■ □ □ □ □	2/5 y 5/9	<

Plantear y resolver problemas#

Un problema con fracciones se resuelve mejor en cuatro pasos: leer y dibujar la situación, escribir cada fracción con símbolos, compararlas con el método que convenga y contestar con una frase completa.

Ejemplo. Ana y Beto tienen cada uno una botella igual de agua. Ana se tomó 3/5 de la suya y Beto 4/5 de la suya (datos de ejercicio). ¿Quién tomó más? ¿A quién le queda más agua?

Solución. Las dos botellas están divididas en quintos, así que se comparan los numeradores: 3 &lt; 4, o sea 3/5 &lt; 4/5. Beto tomó más. A Ana le quedan 2/5 y a Beto 1/5. Como 2/5 &gt; 1/5, a Ana le queda más agua.

Ejemplo. Ordena de menor a mayor las fracciones 4/9, 7/9 y 1/2.

Solución. En 4/9, el 4 es menos que la mitad de 9, así que 4/9 &lt; 1/2. En 7/9, el 7 es más que la mitad de 9, así que 7/9 &gt; 1/2. El orden es 4/9 &lt; 1/2 &lt; 7/9.

Recuerda además otra cosa útil: cuando se comparan fracciones propias, el resultado siempre se puede revisar con un dibujo. Si dibujaste cada una en una tira del mismo tamaño, la tira con más parte pintada es la mayor.

Ponte a prueba#

¿Qué símbolo va entre 4/9 y 7/9?#

¿Cuál es mayor, 3/4 o 3/10?#

¿Cuál es mayor, 8/9 o 6/7, usando lo que falta?#

¿Qué símbolo va entre 2/5 y 5/9 si usas la mitad como referencia?#

¿Son iguales 4/8 y 1/2?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)