Analizar fracciones propias con tiras de papel

La maestra reparte a cada estudiante una tira de papel de un mismo largo y pide doblarla en partes iguales. Con las dobleces aparecen cuartos, sextos y octavos. Luego pinta algunas partes y pregunta: ¿qué fracción de la tira está pintada?, ¿cuál es el denominador?, ¿cuánto falta para completar la tira?

Analizar una fracción propia es hacerse justo esas preguntas. En esta lección vas a descubrir qué dicen sus dos números, cómo se pasa de un dibujo a unas palabras y a unos símbolos, y por qué una fracción propia siempre deja algo sin pintar.

Doblar la tira: de dónde sale el denominador#

La tira entera es la unidad. Si la doblas en 6 partes del mismo tamaño y la abres, cada parte es un sexto de la tira. El 6 es el denominador, porque dice en cuántas partes quedó dividida. Si la doblaras en 8 partes iguales, cada una sería un octavo.

El numerador entra cuando pintas. Pintar 4 de las 6 partes se escribe 4/6. El 4 cuenta las partes pintadas, y el 6 sigue contando todas las partes de la tira. Por eso el numerador de una fracción propia nunca supera al denominador: no puedes pintar más partes de las que tiene la tira.

Tres maneras de decir lo mismo#

Una fracción propia se puede mostrar en forma gráfica (un dibujo), literal (con palabras) o simbólica (con números). Es como un juego de tarjetas de memoria: tres tarjetas distintas dicen exactamente lo mismo. En la tabla, el cuadrito oscuro (■) es una parte pintada y el claro (□) es una parte sin pintar.

Gráfica	Literal	Simbólica
■ ■ ■ ■ □ □	cuatro sextos	4/6
■ □ □ □ □ □ □ □	un octavo	1/8
■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ □ □ □	siete décimos	7/10
■ ■ □ □ □	dos quintos	2/5

Ejemplo. La maestra muestra la tira ■ ■ ■ □ □ □ □ □ □ □. ¿Cómo se escribe la parte pintada con palabras y con símbolos?

Solución. La tira tiene 10 partes iguales en total, y 3 están pintadas. Con símbolos es 3/10 y con palabras, «tres décimos».

Ejemplo. Dibuja con cuadritos la fracción «cinco octavos».

Solución. «Octavos» indica 8 cuadritos en total. «Cinco» indica 5 pintados: ■ ■ ■ ■ ■ □ □ □. La forma simbólica es 5/8.

Por qué se llama propia#

Compara tres fracciones con la misma tira de 8 partes: 3/8, 7/8 y 8/8.

Fracción	Partes pintadas	¿Qué pasa con la tira?
3/8	3 de 8	Falta mucho por pintar
7/8	7 de 8	Falta una sola parte
8/8	8 de 8	Está toda pintada: es la unidad entera

Las dos primeras son fracciones propias: son una parte de la unidad. La tercera ya no es parte de la tira, es la tira completa. Fíjate también que, entre las propias, la más grande con denominador 8 es 7/8. Cuanto más cerca está el numerador del denominador, más se acerca la fracción a la unidad completa, sin llegar a ella.

Y la parte pequeña también existe: 1/8 es la fracción propia más chica con denominador 8. Menos que eso no se puede pintar sin dejar la tira en blanco.

El tamaño de cada parte#

El denominador también cuenta una historia sobre el tamaño de las partes. Si la misma tira se dobla en más partes, cada parte es más pequeña. Una tira doblada en 4 tiene partes grandes; doblada en 10 tiene partes pequeñas.

Tira doblada en…	Una parte se llama…	Tamaño de esa parte
2 partes	1/2	la más grande de la tabla
4 partes	1/4	más pequeña que 1/2
8 partes	1/8	más pequeña que 1/4
10 partes	1/10	la más pequeña de la tabla

Este análisis ayuda a no equivocarse con una idea común: pensar que, como 8 es mayor que 4, entonces 1/8 es mayor que 1/4. Es al revés. Cuando se parte lo mismo entre más partes, cada pedazo es menor.

La parte que falta#

En una fracción propia siempre queda una parte por pintar. Para saber cuánto falta, se restan las partes pintadas de las partes totales y se escribe el resultado con el mismo denominador.

Ejemplo. Una tira se dobló en 9 partes iguales y se pintaron 4 (datos de ejercicio). ¿Qué fracción de la tira falta por pintar?

Solución. La tira tiene 9 partes y hay 4 pintadas, así que faltan 9 − 4 = 5 partes. Falta 5/9 de la tira. Pintadas y faltantes juntas reúnen la tira completa: 4 partes + 5 partes = 9 partes, o sea 9/9.

Con esto puedes revisar tu trabajo. Si la fracción pintada y la fracción que falta tienen el mismo denominador, sus numeradores deben sumar exactamente el denominador.

Ponte a prueba#

¿Cuáles de estas fracciones son propias: 7/10, 10/7, 4/4 y 1/6?#

¿Cómo se escribe con símbolos y con palabras la tira ■ ■ ■ □ □ □ □ □ □ □?#

¿Qué fracción falta para completar una tira de 9 partes si ya hay 4 pintadas?#

¿Por qué 1/8 es menor que 1/4?#

¿Cuál es la fracción propia más grande que tiene denominador 6?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas – I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)