Superposición, Thevenin y máxima transferencia de potencia

En el taller del colegio técnico alguien pregunta por qué el puerto USB de una computadora entrega 5,10 V cuando no hay nada conectado, pero apenas 4,90 V cuando enchufa un disco duro externo. Nadie cambió la fuente ni movió un cable. Lo que ocurrió es que la fuente tiene una resistencia interna escondida, y al pedirle corriente, parte de la tensión se queda en ella. Los tres teoremas, incluido el de la máxima transferencia de potencia, sirven para ponerle número a eso y para resolver circuitos que con la ley de Ohm y Kirchhoff salen largos.

Un circuito con dos o tres fuentes y media docena de resistencias se puede resolver con ecuaciones de mallas o de nodos. Se puede, pero es fácil equivocarse. Los teoremas de redes dan caminos más cortos y, sobre todo, más fáciles de revisar.

Superposición: una fuente a la vez#

En un circuito lineal con varias fuentes, la corriente (o la tensión) en cualquier elemento es la suma de lo que cada fuente produciría si estuviera sola. Para aislar una fuente se apagan las demás así:

• Una fuente de tensión apagada se reemplaza por un cortocircuito.
• Una fuente de corriente apagada se reemplaza por un circuito abierto.

Los resistores no se tocan.

Ejemplo. Dos baterías alimentan un resistor de carga. V1 = 12 V entra por R1 = 2 kΩ, V2 = 6 V entra por R2 = 3 kΩ, y los dos caminos se juntan en un punto A. De A a tierra está R3 = 6 kΩ. Se busca la tensión en R3.

Solución, paso 1 (solo V1). Se pone V2 en cortocircuito. R2 y R3 quedan en paralelo: (3 × 6)/(3 + 6) = 2 kΩ. Ese conjunto queda en serie con R1 = 2 kΩ, así que el divisor de tensión da VA1 = 12 × 2/(2 + 2) = 6 V.

Paso 2 (solo V2). Ahora V1 en cortocircuito. R1 y R3 en paralelo: (2 × 6)/(2 + 6) = 1,5 kΩ, en serie con R2 = 3 kΩ. VA2 = 6 × 1,5/(3 + 1,5) = 2 V.

Paso 3. Se suman, respetando el signo: VA = 6 + 2 = 8 V. La corriente en R3 es 8 V / 6 kΩ = 1,33 mA.

Para comprobar, la ecuación de nodos del punto A da el mismo resultado: (12 − V)/2 + (6 − V)/3 = V/6, de donde 48 = 6V y V = 8 V.

Dónde falla la superposición#

Mucha gente suma también las potencias de cada paso. No sirve. La potencia depende del cuadrado de la corriente, y (a + b)² no es a² + b². Se superponen tensiones y corrientes; con la corriente total ya sumada, recién ahí se calcula P = I²R. Tampoco aplica a circuitos con elementos no lineales, como un diodo.

Thevenin: toda la red convertida en una fuente y una resistencia#

El teorema de Thevenin dice que, visto desde dos bornes, cualquier red lineal equivale a una fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth.

Procedimiento:

1. Retira el resistor de carga y marca los dos bornes.
2. Calcula Vth: la tensión entre esos bornes en vacío.
3. Apaga las fuentes y calcula Rth mirando desde los bornes.
4. Dibuja el equivalente: Vth en serie con Rth, y reconecta la carga.

Ejemplo. El mismo circuito de antes, pero ahora R3 es la carga y se quita. Entre V1 y V2 queda un lazo con R1 + R2 = 5 kΩ y una diferencia de 12 − 6 = 6 V. Corriente: 6/5 = 1,2 mA. La tensión en el punto A es 12 − 1,2 mA × 2 kΩ = 9,6 V. Entonces Vth = 9,6 V.

Para Rth se ponen V1 y V2 en cortocircuito y R1 queda en paralelo con R2: (2 × 3)/(2 + 3) = 1,2 kΩ.

Con la carga original de 6 kΩ: I = 9,6/(1,2 + 6) = 1,33 mA. Es la misma corriente que dio superposición. La ventaja es que ahora puedes cambiar la carga a 1 kΩ, 3 kΩ o 10 kΩ y resolver cada caso con una sola división, sin repetir todo el circuito.

Medirlo con el multímetro#

En un circuito armado, el equivalente se obtiene midiendo, con el multímetro digital en la escala de voltios CC:

1. Con la carga desconectada, mide la tensión en los bornes: eso es Vth.
2. Conecta una resistencia de carga conocida, por ejemplo 6 kΩ, y mide la tensión VL en ella.
3. Calcula Rth = RL × (Vth/VL − 1).

Con los datos del ejemplo, VL = 8,0 V y Rth = 6 000 × (9,6/8,0 − 1) = 1 200 Ω. Coincide con el cálculo.

Hay dos cuidados. El multímetro digital tiene una resistencia de entrada de unos 10 MΩ; si el circuito tiene resistencias de cientos de kΩ, esa entrada ya carga la red y la lectura de Vth sale baja. Y nunca midas la resistencia de la red con el multímetro en ohmios mientras las fuentes están conectadas: el instrumento inyecta su propia corriente y marca cualquier cosa, además de arriesgar el aparato.

El puerto USB del inicio. Sin carga: Vth = 5,10 V. Con 0,5 A, la tensión baja a 4,90 V, una caída de 0,20 V. Rth = 0,20/0,5 = 0,4 Ω. Si el cable USB es largo y delgado, esa resistencia sube y el disco puede no arrancar. Por eso los cables cortos y de buen calibre funcionan mejor.

Máxima transferencia de potencia#

Con una fuente (Vth, Rth) fija, la pregunta es qué carga recibe más potencia. Si la carga es muy pequeña, la corriente es alta pero casi no hay tensión en la carga. Si es muy grande, hay tensión pero casi no hay corriente. En el medio hay un máximo, y está justo cuando:

Con Vth = 9,6 V y Rth = 1,2 kΩ: RL = 1,2 kΩ, I = 9,6/2,4 kΩ = 4 mA, y Pmax = 92,16/4 800 = 19,2 mW.

Comparado con otras cargas:

RL	Corriente	Potencia en RL
0,3 kΩ	6,4 mA	12,3 mW
1,2 kΩ	4,0 mA	19,2 mW
6 kΩ	1,33 mA	10,7 mW
12 kΩ	0,73 mA	6,4 mW

Una cosa que sorprende: en el punto de máxima potencia, la mitad de la potencia que entrega la fuente se pierde en Rth. El rendimiento es 50 %. Por eso una fuente de computadora o un cargador no se diseñan con carga igual a la resistencia interna; se diseñan con Rth muy pequeña para que casi toda la potencia llegue a la carga. El criterio de igualar resistencias se usa cuando lo que importa es sacar el máximo de una señal débil, como un micrófono hacia un preamplificador o una antena hacia un receptor, donde el rendimiento importa menos que la señal que llega.

Errores frecuentes#

• Poner una fuente de tensión en circuito abierto en vez de en corto al apagarla. Una fuente apagada de tensión es un alambre.
• Calcular Rth sin quitar antes la carga. La carga no forma parte del equivalente.
• Sumar potencias en superposición, o restar tensiones sin cuidar la polaridad: toma una referencia de signo y úsala en todos los pasos.
• Creer que máxima transferencia significa máximo rendimiento. Son cosas distintas, y el rendimiento en ese punto es de 50 %.

Para practicar, arma en la protoboard el divisor del ejemplo con resistencias de valores comerciales, mide Vth y VL, calcula Rth y compara con el cálculo teórico. La diferencia debería estar dentro de las tolerancias de los resistores, que según su código de colores suelen ser 5 %.

Ponte a prueba#

En un circuito con dos fuentes de tensión, ¿cómo se anula la fuente de 6 V al aplicar superposición?#

Un puerto USB entrega 5,10 V sin carga y 4,90 V cuando alimenta un aparato que consume 0,5 A. ¿Cuál es su equivalente de Thevenin?#

Un equivalente de Thevenin tiene Vth = 9,6 V y Rth = 1,2 kohm. ¿Qué resistencia de carga recibe la máxima potencia y cuánta recibe?#

¿Por qué no se pueden sumar las potencias calculadas en cada paso de la superposición?#

Con un multímetro mides 8,0 V en una carga de 6 kohm conectada a un circuito cuyo voltaje en vacío es 9,6 V. ¿Cuánto vale Rth?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de estudio de Electrónica, Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)