Números complejos: forma rectangular y polar y operaciones

Un estudiante que mide con el multímetro un circuito de corriente alterna con una bobina y una resistencia encuentra algo raro: la tensión en la resistencia es de 30 V, en la bobina de 40 V, y la fuente marca 50 V, no 70. Los números no se suman como las tensiones de un circuito de corriente directa, porque no están en fase. Para sumar cantidades que tienen tamaño y ángulo a la vez, la electrónica usa los números complejos.

El plano complejo#

Un número complejo se dibuja como un punto (o una flecha desde el origen) en un plano. El eje horizontal es el eje real y el vertical es el imaginario. El número 3 + j4 está tres unidades a la derecha y cuatro hacia arriba. La flecha tiene un largo (módulo) y un ángulo respecto al eje real positivo. Eso es lo mismo que el fasor de una onda senoidal: un tamaño y un ángulo de fase.

Forma rectangular y forma polar#

Hay dos maneras de escribir el mismo número:

• Rectangular: z = a + jb, con a la parte real y b la parte imaginaria.
• Polar: z = r∠θ, con r el módulo (el largo) y θ el ángulo.

Para saber cuál usar: la suma y la resta se hacen cómodamente en rectangular; la multiplicación y la división, en polar.

Conversión de rectangular a polar#

Ejemplo. z = 3 + j4.

Solución. r = √(9 + 16) = 5. θ = arctan(4/3) = 53,13°. Entonces z = 5∠53,13°.

Conversión de polar a rectangular#

Ejemplo. z = 10∠−53,13°.

Solución. a = 10 × cos(−53,13°) = 6. b = 10 × sen(−53,13°) = −8. Entonces z = 6 − j8.

El error del cuadrante#

La calculadora da arctan entre −90° y 90°. Si la parte real es negativa, ese resultado queda en el cuadrante equivocado. Mira dónde cae el punto antes de confiar en la calculadora.

Ejemplo. z = −3 + j4. La calculadora da arctan(4/−3) = −53,13°. Pero el punto está arriba y a la izquierda (segundo cuadrante), así que el ángulo correcto es −53,13° + 180° = 126,87°. Entonces z = 5∠126,87°. Si fuera −3 − j4 (tercer cuadrante), el ángulo sería −126,87° (o 233,13°).

Cuadrante	Signo de a	Signo de b	Ángulo
I	+	+	arctan(b/a)
II	−	+	arctan(b/a) + 180°
III	−	−	arctan(b/a) − 180°
IV	+	−	arctan(b/a)

Las calculadoras científicas tienen funciones que ya resuelven el cuadrante: en las Casio de la serie fx son Pol( para rectangular a polar y Rec( para polar a rectangular.

Suma y resta: en forma rectangular#

Se suman partes reales con reales, imaginarias con imaginarias.

Ejemplo. z1 = 3 + j4 y z2 = 6 − j8.

Solución. Suma: (3 + 6) + j(4 − 8) = 9 − j4. En polar: r = √(81 + 16) = 9,85 y θ = arctan(−4/9) = −23,96°. Resta: (3 − 6) + j(4 + 8) = −3 + j12.

Si te dan los números en polar, primero los pasas a rectangular. Sumar módulos y ángulos por separado es el error más frecuente y siempre da un resultado equivocado.

Multiplicación y división: en forma polar#

Ejemplo. z1 = 5∠53,13° y z2 = 10∠−53,13°.

Solución. Producto: módulo 5 × 10 = 50; ángulo 53,13° − 53,13° = 0°. Queda 50∠0° = 50. Cociente: módulo 5/10 = 0,5; ángulo 53,13° − (−53,13°) = 106,26°. Queda 0,5∠106,26°.

Verificación en rectangular: (3 + j4)(6 − j8) = 18 − j24 + j24 − 32j² = 18 + 32 = 50. Coincide.

División en forma rectangular con el conjugado#

Para dividir en rectangular se multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador (cambiar el signo de la parte imaginaria). Así el denominador queda real.

Ejemplo. (3 + j4) ÷ (6 − j8).

Solución. Conjugado del denominador: 6 + j8. Numerador: (3 + j4)(6 + j8) = −14 + j48. Denominador: (6 − j8)(6 + j8) = 36 + 64 = 100. Resultado: −0,14 + j0,48, que tiene módulo 0,5 y ángulo 106,26°, igual que dio en polar.

Potencias de j#

j = 1∠90°, j² = −1, j³ = −j, j⁴ = 1. Multiplicar por j equivale a girar 90° en el plano. Dividir entre j gira −90°.

Para qué sirve en electrónica#

En corriente alterna, una resistencia R, una bobina y un capacitor se oponen a la corriente cada uno de manera distinta, y sus efectos no están en fase. Se juntan en una sola cantidad compleja, la impedancia: Z = R + jX. Una resistencia de 30 Ω en serie con una bobina de 40 Ω de reactancia tiene Z = 30 + j40 = 50∠53,13° Ω. Con ese número, la ley de Ohm vuelve a funcionar: I = V/Z, y la operación es una división de complejos. Con las tensiones del inicio, 30 V en la resistencia y 40 V en la bobina, forman 30 + j40 = 50 V, y por eso la fuente marca 50 y no 70.

Con la computadora#

Python maneja complejos de fábrica, y sirve para comprobar tus resultados:

• z = 3 + 4j define el número (en Python la unidad se escribe j, pegada al número).
• abs(z) da el módulo: 5.0.
• import cmath y luego cmath.polar(z) da el módulo y el ángulo en radianes; cmath.phase(z) solo el ángulo. Para pasar a grados, import math y math.degrees(…).

La calculadora de Windows no opera con complejos; sí lo hacen las hojas de cálculo con las funciones de números complejos, como COMPLEJO y IM.PRODUCT, y las calculadoras científicas en modo CMPLX.

Errores frecuentes#

• Multiplicar en rectangular como si fueran dos binomios y olvidar que j² = −1. Acuérdate de cambiar el signo del término j².
• Sumar ángulos y módulos en la suma. Eso es para multiplicar. Para sumar, hay que pasar a rectangular.
• No revisar el cuadrante al convertir a polar.
• Dejar la calculadora en radianes cuando el ángulo está en grados.
• Escribir el resultado con el denominador complejo. Se debe racionalizar con el conjugado o pasar a polar.

Para practicar, toma tres números complejos de tu cuaderno, conviértelos a polar y de regreso a rectangular, y verifica que recuperas los valores iniciales. Haz luego una suma y una multiplicación y comprueba con Python.

Ponte a prueba#

Convierte 3 + j4 a forma polar.#

Convierte −3 + j4 a forma polar y explica por qué el ángulo no es −53,13°.#

Calcula (3 + j4) + (6 − j8) y expresa el resultado en forma polar.#

Multiplica 5∠53,13° por 10∠−53,13°.#

Divide 5∠53,13° entre 10∠−53,13°.#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programa de estudio de Electrónica, Educación Diversificada (MEP, Costa Rica) (PDF)